1. Planteamos el problema: Encontrar el área entre las dos parábolas dadas, una que abre hacia arriba $y=x^2$ y otra que abre hacia abajo $y=4-x^2$. 2. Para encontrar el área entre dos curvas, usamos la fórmula: $$\text{Área} = \int_a^b \left( f(x) - g(x) \right) dx$$ Donde $f(x)$ es la función superior y $g(x)$ la función inferior en el intervalo $[a,b]$. 3. Primero, encontramos los puntos de intersección igualando las dos funciones: $$x^2 = 4 - x^2$$ 4. Sumamos $x^2$ a ambos lados: $$x^2 + x^2 = 4$$ $$2x^2 = 4$$ 5. Dividimos ambos lados entre 2: $$\cancel{2}x^2 = \frac{4}{\cancel{2}}$$ $$x^2 = 2$$ 6. Tomamos la raíz cuadrada: $$x = \pm \sqrt{2}$$ 7. La parábola que abre hacia abajo $y=4-x^2$ es la función superior y $y=x^2$ la inferior en el intervalo $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. 8. Calculamos el área: $$\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \left( (4 - x^2) - x^2 \right) dx = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (4 - 2x^2) dx$$ 9. Integramos término a término: $$\int 4 dx = 4x$$ $$\int -2x^2 dx = -2 \cdot \frac{x^3}{3} = -\frac{2x^3}{3}$$ 10. Evaluamos la integral definida: $$\left[4x - \frac{2x^3}{3}\right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = \left(4\sqrt{2} - \frac{2(\sqrt{2})^3}{3}\right) - \left(4(-\sqrt{2}) - \frac{2(-\sqrt{2})^3}{3}\right)$$ 11. Simplificamos las potencias: $$(\sqrt{2})^3 = (\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$$ 12. Sustituimos: $$= \left(4\sqrt{2} - \frac{2 \cdot 2\sqrt{2}}{3}\right) - \left(-4\sqrt{2} - \frac{2 \cdot (-2\sqrt{2})}{3}\right)$$ $$= \left(4\sqrt{2} - \frac{4\sqrt{2}}{3}\right) - \left(-4\sqrt{2} + \frac{4\sqrt{2}}{3}\right)$$ 13. Simplificamos cada paréntesis: $$= \left(\frac{12\sqrt{2}}{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3}\right) - \left(-\frac{12\sqrt{2}}{3} + \frac{4\sqrt{2}}{3}\right) = \frac{8\sqrt{2}}{3} - \left(-\frac{8\sqrt{2}}{3}\right)$$ 14. Finalmente: $$= \frac{8\sqrt{2}}{3} + \frac{8\sqrt{2}}{3} = \frac{16\sqrt{2}}{3}$$ 15. Por lo tanto, el área entre las dos parábolas es: $$\boxed{\frac{16\sqrt{2}}{3}}$$