1. Planteamos el problema: Se tiene una esfera cuyo radio $r$ aumenta a razón de $\frac{dr}{dt} = 0.04$ cm/s y se desea encontrar la rapidez con la que cambia el volumen $V$ cuando $r=12$ cm. 2. Fórmula del volumen de una esfera: $$V = \frac{4}{3} \pi r^3$$ 3. Derivamos respecto al tiempo $t$ para relacionar $\frac{dV}{dt}$ y $\frac{dr}{dt}$: $$\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$$ 4. Sustituimos los valores conocidos: $$r = 12, \quad \frac{dr}{dt} = 0.04$$ 5. Calculamos: $$\frac{dV}{dt} = 4 \pi (12)^2 (0.04) = 4 \pi (144) (0.04)$$ 6. Simplificamos: $$4 \pi \times 144 \times 0.04 = 4 \times 144 \times 0.04 \times \pi = (4 \times 144 \times 0.04) \pi$$ 7. Multiplicamos los números: $$4 \times 144 = 576$$ $$576 \times 0.04 = 23.04$$ 8. Resultado final: $$\frac{dV}{dt} = 23.04 \pi \approx 72.36$$ Por lo tanto, la rapidez con la que cambia el volumen cuando el radio mide 12 cm es aproximadamente $72.36$ cm$^3$/s.