1. O problema pede para inverter a ordem de integração da integral dupla $$\int_0^2 \int_{2x}^{6-x} (\cos(x) + y) \, dy \, dx$$ e explicar o processo. 2. A integral está dada com $x$ variando de 0 a 2 e $y$ variando de $2x$ a $6 - x$ para cada $x$ fixo. 3. Para inverter a ordem, precisamos descrever a região de integração em termos de $y$ primeiro e depois $x$. 4. Analisando os limites: - $y$ varia entre $2x$ e $6 - x$ - $x$ varia entre 0 e 2 5. Para encontrar os limites de $x$ em função de $y$, resolvemos as desigualdades: $$y \geq 2x \implies x \leq \frac{y}{2}$$ $$y \leq 6 - x \implies x \leq 6 - y$$ 6. Também, $x$ está entre 0 e 2, então $x$ deve satisfazer: $$0 \leq x \leq \min\left(2, \frac{y}{2}, 6 - y\right)$$ 7. Agora, determinamos os valores possíveis de $y$ para que essa região exista. - Como $x$ varia de 0 a 2, e $y$ varia entre $2x$ e $6 - x$, o menor $y$ ocorre em $x=0$ com $y=0$, e o maior $y$ ocorre em $x=2$ com $y=4$ (pois $2\times 2=4$) e $6-2=4$. - Portanto, $y$ varia de 0 a 4. 8. Para cada $y$ fixo em $[0,4]$, $x$ varia entre: - $x \geq 0$ - $x \leq \frac{y}{2}$ (de $y \geq 2x$) - $x \leq 6 - y$ 9. Como $6 - y \geq 2$ para $y \leq 4$, o limite superior relevante para $x$ é $\frac{y}{2}$ para $y \leq 4$. 10. Portanto, a integral invertida é: $$\int_0^4 \int_0^{\frac{y}{2}} (\cos(x) + y) \, dx \, dy$$ 11. Resumo da inversão: $$\int_0^2 \int_{2x}^{6-x} (\cos(x) + y) \, dy \, dx = \int_0^4 \int_0^{\frac{y}{2}} (\cos(x) + y) \, dx \, dy$$