1. Planteamos el problema: Tenemos una piscina de 12 m de longitud y 5 m de ancho, con fondo inclinado desde 1 m hasta 3 m de profundidad. El agua entra a 1.5 m³/min y queremos encontrar la rapidez con la que aumenta la profundidad cuando el agua alcanza 2 m en la parte más profunda. 2. Definimos variables: Sea $h$ la profundidad del agua en la parte más profunda (en metros), y $V$ el volumen de agua en la piscina (en m³). 3. La profundidad varía linealmente desde 1 m hasta $h$ en 12 m de longitud, por lo que la profundidad en cualquier punto $x$ (0 a 12) es $d(x) = 1 + \frac{h-1}{12}x$. 4. El volumen de agua es el área de la sección transversal por el ancho: $$V = 5 \times \text{área del triángulo y rectángulo formados por el agua}$$ 5. El área transversal es un trapecio con bases 1 m y $h$ m y altura 12 m: $$A = \frac{(1 + h)}{2} \times 12 = 6(1 + h)$$ 6. Entonces, el volumen es: $$V = 5 \times 6(1 + h) = 30(1 + h)$$ 7. Derivamos respecto al tiempo $t$: $$\frac{dV}{dt} = 30 \frac{d}{dt}(1 + h) = 30 \frac{dh}{dt}$$ 8. Sabemos que $\frac{dV}{dt} = 1.5$ m³/min, entonces: $$1.5 = 30 \frac{dh}{dt}$$ 9. Despejamos $\frac{dh}{dt}$: $$\frac{dh}{dt} = \frac{1.5}{30} = 0.05$$ 10. Por lo tanto, la profundidad del agua aumenta a una rapidez de 0.05 m/min cuando la profundidad en la parte más profunda es 2 m.