1. O problema pede para determinar a série de MacLaurin da função $$f(x) = \frac{3}{1 - 2x}$$ e depois encontrar o polinômio de MacLaurin de ordem 3 e calcular $$f\left(\frac{1}{4}\right)$$. 2. A série de MacLaurin é a expansão em série de Taylor centrada em 0, dada por: $$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$$ 3. Para funções da forma $$\frac{1}{1 - r}$$, a série geométrica é: $$\frac{1}{1 - r} = \sum_{n=0}^\infty r^n$$ para $$|r| < 1$$. 4. No nosso caso, $$f(x) = 3 \cdot \frac{1}{1 - 2x}$$, então podemos escrever: $$f(x) = 3 \sum_{n=0}^\infty (2x)^n = 3 \sum_{n=0}^\infty 2^n x^n$$ 5. Portanto, a série de MacLaurin é: $$f(x) = \sum_{n=0}^\infty 3 \cdot 2^n x^n$$ 6. O polinômio de MacLaurin de ordem 3 é a soma dos termos até $$n=3$$: $$P_3(x) = 3 + 3 \cdot 2 x + 3 \cdot 2^2 x^2 + 3 \cdot 2^3 x^3 = 3 + 6x + 12x^2 + 24x^3$$ 7. Para calcular $$f\left(\frac{1}{4}\right)$$ usando $$P_3$$: $$P_3\left(\frac{1}{4}\right) = 3 + 6 \cdot \frac{1}{4} + 12 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 + 24 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^3$$ 8. Calculando cada termo: $$6 \cdot \frac{1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$ $$12 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 12 \cdot \frac{1}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$$ $$24 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^3 = 24 \cdot \frac{1}{64} = \frac{24}{64} = \frac{3}{8}$$ 9. Somando todos os termos: $$3 + \frac{3}{2} + \frac{3}{4} + \frac{3}{8} = 3 + 1.5 + 0.75 + 0.375 = 5.625$$ 10. Portanto, o valor aproximado de $$f\left(\frac{1}{4}\right)$$ pelo polinômio de ordem 3 é $$5.625$$. Resposta final: - Série de MacLaurin: $$f(x) = \sum_{n=0}^\infty 3 \cdot 2^n x^n$$ - Polinômio de ordem 3: $$P_3(x) = 3 + 6x + 12x^2 + 24x^3$$ - Valor aproximado: $$f\left(\frac{1}{4}\right) \approx 5.625$$