1. Énonçons le problème : Vous souhaitez comprendre comment calculer une combinaison, notée $C(n,k)$, qui représente le nombre de façons de choisir $k$ éléments parmi $n$ sans tenir compte de l'ordre. 2. La formule des combinaisons est : $$C(n,k) = \frac{n!}{k! (n-k)!}$$ Ici, $n!$ (factorielle de $n$) est le produit de tous les entiers de 1 à $n$. 3. Important : - $C(n,k)$ est toujours un entier. - $C(n,k) = C(n, n-k)$, ce qui signifie que choisir $k$ éléments parmi $n$ est équivalent à choisir les $n-k$ éléments restants. 4. Exemple : Calculons $C(5,2)$. $$C(5,2) = \frac{5!}{2! (5-2)!} = \frac{5!}{2! 3!}$$ 5. Calculons les factorielles : $$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$ $$2! = 2 \times 1 = 2$$ $$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$$ 6. Substituons : $$C(5,2) = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12}$$ 7. Simplifions la fraction en utilisant la notation \cancel{} pour montrer les facteurs annulés : $$\frac{\cancel{120}}{\cancel{12}} = 10$$ 8. Conclusion : Il y a 10 façons de choisir 2 éléments parmi 5. Cette méthode peut être appliquée à n'importe quelle valeur de $n$ et $k$ pour calculer les combinaisons.