1. **Énoncé du problème :** Nous avons une équipe de 33 femmes et 39 hommes, soit un total de 72 professeurs. Nous devons constituer un jury de 4 professeurs. 2. **Formule utilisée :** Le nombre de façons de choisir $k$ éléments parmi $n$ est donné par la combinaison $$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ 3. **Calcul du nombre total de jurys possibles :** $$C_{72}^4 = \frac{72!}{4!\times 68!}$$ Calculons étape par étape : $$C_{72}^4 = \frac{72 \times 71 \times 70 \times 69}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$$ $$= \frac{72 \times 71 \times 70 \times 69}{24}$$ 4. **Calcul du nombre de jurys respectant la parité (2 femmes et 2 hommes) :** On choisit 2 femmes parmi 33 et 2 hommes parmi 39 : $$C_{33}^2 \times C_{39}^2 = \frac{33 \times 32}{2} \times \frac{39 \times 38}{2}$$ $$= 528 \times 741 = 391,248$$ 5. **Calcul du nombre de jurys avec au moins une femme et au moins un homme :** Nombre total de jurys : $C_{72}^4$ Nombre de jurys sans femme (4 hommes) : $C_{39}^4$ Nombre de jurys sans homme (4 femmes) : $C_{33}^4$ Donc : $$\text{Au moins une femme et un homme} = C_{72}^4 - C_{39}^4 - C_{33}^4$$ Calculons : $$C_{39}^4 = \frac{39 \times 38 \times 37 \times 36}{24} = 82,251$$ $$C_{33}^4 = \frac{33 \times 32 \times 31 \times 30}{24} = 35,960$$ 6. **Calcul du nombre de jurys sans que madame Mat soit avec monsieur Bio :** Supposons que madame Mat est une femme et monsieur Bio un homme. Nombre total de jurys : $C_{72}^4$ Nombre de jurys où madame Mat et monsieur Bio sont ensemble : On choisit madame Mat et monsieur Bio, puis 2 autres professeurs parmi les 70 restants : $$C_{70}^2 = \frac{70 \times 69}{2} = 2,415$$ Donc, le nombre de jurys sans qu'ils soient ensemble : $$C_{72}^4 - 2,415$$ **Réponses finales :** - Nombre total de jurys : $$C_{72}^4 = 913,896$$ - Nombre de jurys respectant la parité (2 femmes, 2 hommes) : $$391,248$$ - Nombre de jurys avec au moins une femme et un homme : $$913,896 - 82,251 - 35,960 = 795,685$$ - Nombre de jurys sans madame Mat avec monsieur Bio : $$913,896 - 2,415 = 911,481$$