1. **Énoncé du problème :** On a 6 livres de gestion, 2 de marketing, 4 d’économie, 5 de GRH. On veut ranger ces livres dans une bibliothèque en gardant les livres de chaque discipline ensemble. 2. **Formule utilisée :** Le nombre de façons de ranger $n$ groupes où chaque groupe est un ensemble de livres rangés ensemble est : $$n! \times (\text{permutations internes de chaque groupe})$$ 3. **Calculs :** - Nombre de façons de ranger les 4 groupes (gestion, marketing, économie, GRH) : $$4! = 24$$ - Permutations internes : - Gestion : $$6! = 720$$ - Marketing : $$2! = 2$$ - Économie : $$4! = 24$$ - GRH : $$5! = 120$$ 4. **Nombre total de façons :** $$4! \times 6! \times 2! \times 4! \times 5! = 24 \times 720 \times 2 \times 24 \times 120$$ 5. **Calcul final :** $$24 \times 720 = 17280$$ $$17280 \times 2 = 34560$$ $$34560 \times 24 = 829440$$ $$829440 \times 120 = 99532800$$ **Réponse 1 :** Il y a $$99\,532\,800$$ façons de ranger les livres. --- 1. **Énoncé :** Ensemble fondamental $$\Omega = \{\text{Statistique, Probabilités, Mathématique, Management, Comptabilité}\}$$. 2. **a) Dispositions ordonnées de 2 modules :** Nombre de permutations de 2 éléments parmi 5 : $$P(5,2) = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{120}{6} = 20$$ 3. **b) Dispositions ordonnées de 3 modules :** Nombre de permutations de 3 éléments parmi 5 : $$P(5,3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = 60$$ **Réponses 2a :** 20 **Réponses 2b :** 60 --- 1. **Énoncé :** 3 médailles (Or, Argent, Bronze) à attribuer à 27 candidats, un seul prix par candidat. 2. **Formule :** Nombre de façons d’attribuer 3 médailles distinctes à 27 candidats sans répétition : $$P(27,3) = \frac{27!}{(27-3)!} = 27 \times 26 \times 25 = 17550$$ **Réponse 3 :** 17550 possibilités --- 1. **Énoncé :** Constituer un groupe de 5 représentants parmi 15 étudiants (11 SEG, 4 Droit). 2. **a) Ordre important :** Nombre de arrangements de 5 parmi 15 : $$A(15,5) = \frac{15!}{(15-5)!} = 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 = 360360$$ 3. **b) Ordre non important :** Nombre de combinaisons de 5 parmi 15 : $$C(15,5) = \frac{15!}{5! \times 10!} = 3003$$ 4. **c) Exactement 2 en droit et 3 en SEG, ordre non important :** $$C(4,2) \times C(11,3) = 6 \times 165 = 990$$ **Réponses 4a :** 360360 **Réponses 4b :** 3003 **Réponses 4c :** 990 --- 1. **Énoncé :** Codes à 8 chiffres pour décodeurs. 2. **a) Nombre d’abonnés potentiels (8 chiffres, répétition possible) :** $$10^8 = 100000000$$ Nombre d’abonnés avec 8 chiffres différents : $$P(10,8) = \frac{10!}{2!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 1814400$$ 3. **b) Codes à 2 chiffres différents, l’un utilisé 1 fois, l’autre 7 fois :** - Choix des 2 chiffres : $$C(10,2) = 45$$ - Choix du chiffre utilisé 1 fois : 2 façons - Position du chiffre unique : $$C(8,1) = 8$$ Nombre total : $$45 \times 2 \times 8 = 720$$ 4. **c) Codes à 3 chiffres différents, 2 utilisés une fois, 1 utilisé 6 fois :** - Choix des 3 chiffres : $$C(10,3) = 120$$ - Choix des 2 chiffres utilisés une fois : $$C(3,2) = 3$$ - Position des 2 chiffres uniques : $$C(8,1) \times C(7,1) = 8 \times 7 = 56$$ Nombre total : $$120 \times 3 \times 56 = 20160$$ **Réponses 5a :** 100000000 et 1814400 **Réponses 5b :** 720 **Réponses 5c :** 20160 --- 1. **Énoncé :** QCM de 20 questions, 5 choix par question, une seule réponse par question. 2. **Formule :** Nombre de façons de répondre : $$5^{20}$$ 3. **Calcul :** $$5^{20} = 95367431640625$$ **Réponse 6 :** $$95367431640625$$ façons distinctes.