1. **Énoncé du problème** : On donne la transformation complexe $$Z = \frac{1 - z}{i + z}$$ et trois points $M$, $A$, et $B$ d'affixes respectives $z$, $1$, et $-i$. Il faut déterminer pour quelles valeurs de $z$ le nombre complexe $Z$ est réel (a) puis imaginaire (b). 2. **Rappel et méthode** : - Pour que $Z$ soit réel, il faut que son imaginaire soit nul. - Pour que $Z$ soit imaginaire pur, il faut que sa partie réelle soit nulle. 3. **Notations** : Écrivons $ z = x + iy $ où $x, y \in \mathbb{R}$. ___ ### a) $Z$ est réel 4. Exprimons $Z = \frac{1 - z}{i + z} = \frac{1 - (x + iy)}{i + (x + iy)} = \frac{1 - x - iy}{x + i(1+y)}$. 5. Pour simplifier, multiplions numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : $$ Z = \frac{(1 - x - iy)(x - i(1+y))}{(x + i(1+y))(x - i(1+y))} = \frac{(1 - x - iy)(x - i - iy)}{x^2 + (1+y)^2}. $$ 6. Calculons le numérateur : $$(1 - x - iy)(x - i - iy) = (1 - x)(x - i - iy) - iy(x - i - iy).$$ 7. Développons : $ (1 - x)(x - i - iy) = (1 - x) x - (1 - x) i - (1 - x) iy = x - x^2 - i + ix - i y + i x y $. 8. Pour $-iy (x - i - iy) = -iy x + iy i + iy i y = -i x y + y - i y^2$ (puisque $i^2 = -1$). 9. Sommons : $ \begin{aligned} & x - x^2 - i + i x - i y + i x y - i x y + y - i y^2 \\ = & x - x^2 - i + i x - i y + y - i y^2 \end{aligned} $ 10. Regroupons parties réelles et imaginaires : - Partie réelle : $x - x^2 + y$ - Partie imaginaire : $-1 + x - y - y^2$ multipliée par $i$ 11. Donc : $$Z = \frac{(x - x^2 + y) + i(-1 + x - y - y^2)}{x^2 + (1 + y)^2}.$$ 12. Pour que $Z$ soit réel, la partie imaginaire doit être nulle : $$-1 + x - y - y^2 = 0,$$ soit $$x - y - y^2 = 1.$$ ___ ### b) $Z$ est imaginaire (partie réelle nulle) 13. La partie réelle doit être nulle : $$x - x^2 + y = 0.$$ ___ **Réponses finales :** - a) Ensemble des points $M$ d'affixe $z=x+iy$ tels que $$x - y - y^2 = 1.$$ - b) Ensemble des points $M$ d'affixe $z=x+iy$ tels que $$x - x^2 + y = 0.$$