1. Énonçons le problème : déterminer la nature d'un triangle en utilisant les nombres complexes. 2. Rappel : on peut représenter les sommets d'un triangle par des points dans le plan complexe, notés $z_1$, $z_2$, $z_3$. 3. Pour étudier la nature du triangle, on calcule les longueurs des côtés, qui sont les modules des différences : $$|z_2 - z_1|, |z_3 - z_2|, |z_1 - z_3|$$ 4. On peut aussi utiliser les arguments des vecteurs pour vérifier les angles. Par exemple, pour vérifier si le triangle est rectangle, on peut vérifier si deux vecteurs sont orthogonaux : $$\text{Si } (z_2 - z_1) \times \overline{(z_3 - z_1)} + (z_3 - z_1) \times \overline{(z_2 - z_1)} = 0, \text{ alors angle droit}$$ 5. Pour un triangle équilatéral, les trois côtés ont la même longueur : $$|z_2 - z_1| = |z_3 - z_2| = |z_1 - z_3|$$ 6. Exemple : si $z_1=0$, $z_2=1$, $z_3=1+i$, calculons les longueurs : $$|1-0|=1$$ $$|1+i - 1|=|i|=1$$ $$|0 - (1+i)|=|-(1+i)|=\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$ 7. Les côtés ne sont pas tous égaux, donc le triangle n'est pas équilatéral. 8. Vérifions si le triangle est rectangle en calculant le produit scalaire des vecteurs $z_2 - z_1$ et $z_3 - z_1$ : $$(z_2 - z_1) \cdot \overline{(z_3 - z_1)} = (1) \times \overline{(1+i)} = 1 \times (1 - i) = 1 - i$$ 9. Le produit n'est pas nul, donc les vecteurs ne sont pas orthogonaux, le triangle n'est pas rectangle. 10. Conclusion : en utilisant les nombres complexes, on peut déterminer la nature du triangle en calculant les longueurs des côtés et en vérifiant les angles via les produits scalaires.