1. **Énoncé du problème :** Nous avons plusieurs questions sur des transformations géométriques dans le plan complexe : homothétie, rotation, et propriétés des triangles. --- ### Problème 8 : Homothétie de centre O et rapport 2 1. Construire les points I', J', A', M' images des points I, J, A, M par l'homothétie $h$ de centre $O$ et de rapport 2. 2. Déterminer les affixes de I', J', A', M' et des vecteurs $\overrightarrow{IA'}$ et $\overrightarrow{JM'}$. 3. Donner une mesure des angles orientés $(\overrightarrow{IA}, \overrightarrow{IM})$ et $(\overrightarrow{I'A'}, \overrightarrow{I'M'})$ et comparer. --- ### Problème 9 : Rotation de centre O et angle $\frac{2\pi}{3}$ 1. Construire les points I', J', A', M' images des points I, J, A, M par la rotation $r$ de centre $O$ et d'angle $\frac{2\pi}{3}$. 2. Déterminer les affixes de I', J', A', M' et des vecteurs $\overrightarrow{I'A'}$ et $\overrightarrow{I'M'}$. 3. Donner une mesure des angles orientés $(\overrightarrow{IA}, \overrightarrow{IM})$ et $(\overrightarrow{I'A'}, \overrightarrow{I'M'})$ et comparer. --- ### Problème 10 : Triangle OAB avec $z_A=6+3i$ et $z_B=2-4i$ 1. Déterminer la nature du triangle $OAB$. 2. Trouver les affixes de $B'$ image de $B$ par rotation de centre $O$ et angle $\frac{\pi}{2}$, et $A'$ image de $A$ par rotation de centre $O$ et angle $-\frac{\pi}{2}$. 3. Calculer l'affixe de $M$, milieu de $[A'B']$. 4. Vérifier que les droites $(OM)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires et interpréter. --- ## Solutions détaillées : ### 8. Homothétie $h$ de centre $O$ et rapport 2 1. **Construction :** L'homothétie de centre $O$ et rapport 2 multiplie chaque affixe par 2. 2. **Affixes :** - $z_I = 1$ (point $I$ d'affixe 1) - $z_J = i$ (point $J$ d'affixe $i$) - $z_A = 1 + i$ - $z_M = z$ (affixe quelconque) Alors : $$z_{I'} = 2 \times z_I = 2$$ $$z_{J'} = 2 \times z_J = 2i$$ $$z_{A'} = 2 \times z_A = 2 + 2i$$ $$z_{M'} = 2 \times z_M = 2z$$ Vecteurs : $$\overrightarrow{IA'} = z_{A'} - z_I = (2+2i) - 1 = 1 + 2i$$ $$\overrightarrow{JM'} = z_{M'} - z_J = 2z - i$$ 3. **Angles orientés :** L'angle orienté entre deux vecteurs d'affixes $u$ et $v$ est donné par : $$\theta = \arg\left(\frac{v}{u}\right)$$ Donc : $$\angle(\overrightarrow{IA}, \overrightarrow{IM}) = \arg\left(\frac{z_M - z_I}{z_A - z_I}\right) = \arg\left(\frac{z - 1}{(1+i) - 1}\right) = \arg\left(\frac{z - 1}{i}\right)$$ $$\angle(\overrightarrow{I'A'}, \overrightarrow{I'M'}) = \arg\left(\frac{z_{M'} - z_{I'}}{z_{A'} - z_{I'}}\right) = \arg\left(\frac{2z - 2}{(2+2i) - 2}\right) = \arg\left(\frac{2(z - 1)}{2i}\right) = \arg\left(\frac{z - 1}{i}\right)$$ **Conclusion :** Les angles orientés sont égaux. --- ### 9. Rotation $r$ de centre $O$ et angle $\frac{2\pi}{3}$ 1. **Construction :** La rotation multiplie chaque affixe par $e^{i2\pi/3}$. 2. **Affixes :** - $z_I = 1$ - $z_J = i$ - $z_A = -1 - 3i$ - $z_M = z$ Alors : $$z_{I'} = e^{i2\pi/3} \times 1 = e^{i2\pi/3}$$ $$z_{J'} = e^{i2\pi/3} \times i = i e^{i2\pi/3}$$ $$z_{A'} = e^{i2\pi/3} \times (-1 - 3i)$$ $$z_{M'} = e^{i2\pi/3} \times z$$ Vecteurs : $$\overrightarrow{I'A'} = z_{A'} - z_{I'} = e^{i2\pi/3}(-1 - 3i) - e^{i2\pi/3} = e^{i2\pi/3}((-1 - 3i) - 1) = e^{i2\pi/3}(-2 - 3i)$$ $$\overrightarrow{I'M'} = z_{M'} - z_{I'} = e^{i2\pi/3}z - e^{i2\pi/3} = e^{i2\pi/3}(z - 1)$$ 3. **Angles orientés :** $$\angle(\overrightarrow{IA}, \overrightarrow{IM}) = \arg\left(\frac{z - 1}{(-1 - 3i) - 1}\right) = \arg\left(\frac{z - 1}{-2 - 3i}\right)$$ $$\angle(\overrightarrow{I'A'}, \overrightarrow{I'M'}) = \arg\left(\frac{\overrightarrow{I'M'}}{\overrightarrow{I'A'}}\right) = \arg\left(\frac{e^{i2\pi/3}(z - 1)}{e^{i2\pi/3}(-2 - 3i)}\right) = \arg\left(\frac{z - 1}{-2 - 3i}\right)$$ **Conclusion :** Les angles orientés sont égaux. --- ### 10. Triangle $OAB$ avec $z_A=6+3i$ et $z_B=2-4i$ 1. **Nature du triangle $OAB$ :** Calcul des vecteurs : $$\overrightarrow{OA} = 6 + 3i$$ $$\overrightarrow{OB} = 2 - 4i$$ Produit scalaire complexe (partie réelle de $\overrightarrow{OA} \times \overline{\overrightarrow{OB}}$) : $$ (6 + 3i) \times (2 + 4i) = 12 + 24i + 6i + 12i^2 = 12 + 30i - 12 = 0 + 30i$$ La partie réelle est 0, donc les vecteurs sont orthogonaux. **Conclusion :** Le triangle $OAB$ est rectangle en $O$. 2. **Rotation de centre $O$ et angle $\frac{\pi}{2}$ :** La rotation multiplie par $e^{i\pi/2} = i$. $$z_{B'} = i \times z_B = i(2 - 4i) = 2i - 4i^2 = 2i + 4 = 4 + 2i$$ Rotation angle $-\frac{\pi}{2}$ multiplie par $e^{-i\pi/2} = -i$ : $$z_{A'} = -i \times z_A = -i(6 + 3i) = -6i - 3i^2 = -6i + 3 = 3 - 6i$$ 3. **Milieu $M$ de $[A'B']$ :** $$z_M = \frac{z_{A'} + z_{B'}}{2} = \frac{(3 - 6i) + (4 + 2i)}{2} = \frac{7 - 4i}{2} = 3.5 - 2i$$ 4. **Vérification que $(OM)$ est perpendiculaire à $(AB)$ :** Vecteur $\overrightarrow{OM} = z_M - 0 = 3.5 - 2i$ Vecteur $\overrightarrow{AB} = z_B - z_A = (2 - 4i) - (6 + 3i) = -4 - 7i$ Produit scalaire complexe : $$ (3.5 - 2i) \times \overline{(-4 - 7i)} = (3.5 - 2i)(-4 + 7i) = -14 + 24.5i + 8i - 14i^2 = -14 + 32.5i + 14 = 0 + 32.5i$$ Partie réelle = 0 donc orthogonalité confirmée. **Interprétation :** La droite $(OM)$ est la hauteur issue de $O$ dans le triangle $OAB$. --- **Résumé :** - Homothétie multiplie affixes par 2. - Rotation multiplie affixes par $e^{i\theta}$. - Angles orientés sont conservés par ces transformations. - Triangle $OAB$ est rectangle en $O$. - Rotations de $\pm \frac{\pi}{2}$ appliquées à $A$ et $B$ donnent $A'$ et $B'$. - Milieu $M$ de $[A'B']$ vérifie que $(OM)$ est perpendiculaire à $(AB)$.