1. **Énoncé du problème** : Calculer l'aire $A$ du parallélogramme engendré par les vecteurs $\overrightarrow{PQ}$ et $\overrightarrow{PR}$, où $P(2, -1, 3)$, $Q(1, 5, 4)$, $R(-5, 0, 6)$. 2. **Formule utilisée** : L'aire d'un parallélogramme formé par deux vecteurs $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$ est donnée par $$A = \| \mathbf{a} \times \mathbf{b} \|$$ Le produit vectoriel $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ donne un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs, et sa norme est l'aire du parallélogramme. 3. **Calcul des vecteurs $\overrightarrow{PQ}$ et $\overrightarrow{PR}$** : $$\overrightarrow{PQ} = Q - P = (1 - 2, 5 - (-1), 4 - 3) = (-1, 6, 1)$$ $$\overrightarrow{PR} = R - P = (-5 - 2, 0 - (-1), 6 - 3) = (-7, 1, 3)$$ 4. **Calcul du produit vectoriel $\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}$** : $$\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 6 & 1 \\ -7 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(6 \times 3 - 1 \times 1) - \mathbf{j}(-1 \times 3 - 1 \times -7) + \mathbf{k}(-1 \times 1 - 6 \times -7)$$ $$= \mathbf{i}(18 - 1) - \mathbf{j}(-3 + 7) + \mathbf{k}(-1 + 42) = 17\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 41\mathbf{k}$$ 5. **Calcul de la norme du vecteur produit** : $$\| \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} \| = \sqrt{17^2 + (-4)^2 + 41^2} = \sqrt{289 + 16 + 1681} = \sqrt{1986}$$ 6. **Conclusion** : L'aire du parallélogramme est donc $$A = \sqrt{1986} \approx 44.57$$ L'aire du parallélogramme engendré par $\overrightarrow{PQ}$ et $\overrightarrow{PR}$ est environ 44.57 unités carrées.