1. **Énoncé du problème :** Décomposer les vecteurs $\overrightarrow{OI}$ et $\overrightarrow{HJ}$ dans la base $(\overrightarrow{HG}, \overrightarrow{HE}, \overrightarrow{HD})$ du parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$. 2. **Définitions et notations :** - $O$ est le centre de la face $AEHD$. - $I$ est défini par $\overrightarrow{FI} = 0{,}75 \times \overrightarrow{FE}$. - $J$ est défini par $\overrightarrow{DJ} = 0{,}5 \times \overrightarrow{DC}$. 3. **Base du repère :** La base est formée par les vecteurs : - $\overrightarrow{HG}$ (parallèle à une arête du parallélépipède), - $\overrightarrow{HE}$, - $\overrightarrow{HD}$. 4. **Coordonnées des points dans la base :** On pose que le parallélépipède est positionné de sorte que : - $H$ est l'origine, - $\overrightarrow{HG} = \vec{i}$, - $\overrightarrow{HE} = \vec{j}$, - $\overrightarrow{HD} = \vec{k}$. 5. **Coordonnées des points importants :** - $O$ est le centre de la face $AEHD$, donc $O$ est le milieu de $AEHD$. La face $AEHD$ est un rectangle avec sommets $A, E, H, D$. - En coordonnées dans la base, $H = (0,0,0)$, $E = (0,1,0)$, $D = (0,0,1)$, $A = (0,1,1)$. Le centre $O$ de la face $AEHD$ est donc le milieu de $AEHD$ : $$O = \frac{A + E + H + D}{4} = \frac{(0,1,1) + (0,1,0) + (0,0,0) + (0,0,1)}{4} = (0, \frac{1+1+0+0}{4}, \frac{1+0+0+1}{4}) = (0, 0{,}5, 0{,}5)$$ 6. **Coordonnées de $F$ et $E$ :** - $F$ est le sommet opposé à $E$ sur l'arête parallèle à $\overrightarrow{HG}$. - $E = (0,1,0)$, - $F = (1,1,0)$ (car $\overrightarrow{HF} = \overrightarrow{HG} + \overrightarrow{HE}$). 7. **Calcul de $I$ :** On a $\overrightarrow{FI} = 0{,}75 \times \overrightarrow{FE}$. Or $\overrightarrow{FE} = E - F = (0,1,0) - (1,1,0) = (-1,0,0)$. Donc : $$\overrightarrow{FI} = 0{,}75 \times (-1,0,0) = (-0{,}75,0,0)$$ Ainsi : $$I = F + \overrightarrow{FI} = (1,1,0) + (-0{,}75,0,0) = (0{,}25,1,0)$$ 8. **Calcul de $\overrightarrow{OI}$ :** $$\overrightarrow{OI} = I - O = (0{,}25,1,0) - (0,0{,}5,0{,}5) = (0{,}25,0{,}5,-0{,}5)$$ 9. **Décomposition de $\overrightarrow{OI}$ dans la base $(\overrightarrow{HG}, \overrightarrow{HE}, \overrightarrow{HD})$ :** $$\overrightarrow{OI} = 0{,}25 \overrightarrow{HG} + 0{,}5 \overrightarrow{HE} - 0{,}5 \overrightarrow{HD}$$ 10. **Coordonnées de $D$ et $C$ :** - $D = (0,0,1)$, - $C = (1,0,1)$ (car $\overrightarrow{HC} = \overrightarrow{HG} + \overrightarrow{HD}$). 11. **Calcul de $J$ :** On a $\overrightarrow{DJ} = 0{,}5 \times \overrightarrow{DC}$. Or $\overrightarrow{DC} = C - D = (1,0,1) - (0,0,1) = (1,0,0)$. Donc : $$\overrightarrow{DJ} = 0{,}5 \times (1,0,0) = (0{,}5,0,0)$$ Ainsi : $$J = D + \overrightarrow{DJ} = (0,0,1) + (0{,}5,0,0) = (0{,}5,0,1)$$ 12. **Calcul de $\overrightarrow{HJ}$ :** $$\overrightarrow{HJ} = J - H = (0{,}5,0,1) - (0,0,0) = (0{,}5,0,1)$$ 13. **Décomposition de $\overrightarrow{HJ}$ dans la base $(\overrightarrow{HG}, \overrightarrow{HE}, \overrightarrow{HD})$ :** $$\overrightarrow{HJ} = 0{,}5 \overrightarrow{HG} + 0 \overrightarrow{HE} + 1 \overrightarrow{HD}$$ **Réponses finales :** - $\boxed{\overrightarrow{OI} = 0{,}25 \overrightarrow{HG} + 0{,}5 \overrightarrow{HE} - 0{,}5 \overrightarrow{HD}}$ - $\boxed{\overrightarrow{HJ} = 0{,}5 \overrightarrow{HG} + 0 \overrightarrow{HE} + 1 \overrightarrow{HD}}$