1. **Énoncé du problème :** Amélie doit se rendre à la balise A en suivant plusieurs déplacements successifs donnés en mètres et directions mesurées en degrés horaires par rapport au nord. 2. **Données :** - 1500 m en direction S.-S.-O. (soit 202,5°) - 800 m en direction N. (0°) - 2000 m en direction N.-O. (soit 315°) - 300 m en direction O. (270°) 3. **Objectif :** Trouver la distance directe entre le point de départ et la balise A, ainsi que l'angle à donner à la boussole (mesuré dans le sens horaire à partir du nord) pour atteindre directement la balise. 4. **Formule utilisée :** Pour chaque déplacement, on décompose en coordonnées cartésiennes (x, y) avec : $$x = d \times \sin(\theta)$$ $$y = d \times \cos(\theta)$$ où $d$ est la distance et $\theta$ l'angle en degrés. 5. **Calcul des composantes pour chaque déplacement :** - Déplacement 1 (1500 m, 202,5°) : $$x_1 = 1500 \times \sin(202.5^\circ) = 1500 \times (-0.3827) = -574.05$$ $$y_1 = 1500 \times \cos(202.5^\circ) = 1500 \times (-0.9239) = -1385.85$$ - Déplacement 2 (800 m, 0°) : $$x_2 = 800 \times \sin(0^\circ) = 0$$ $$y_2 = 800 \times \cos(0^\circ) = 800$$ - Déplacement 3 (2000 m, 315°) : $$x_3 = 2000 \times \sin(315^\circ) = 2000 \times (-0.7071) = -1414.21$$ $$y_3 = 2000 \times \cos(315^\circ) = 2000 \times 0.7071 = 1414.21$$ - Déplacement 4 (300 m, 270°) : $$x_4 = 300 \times \sin(270^\circ) = 300 \times (-1) = -300$$ $$y_4 = 300 \times \cos(270^\circ) = 300 \times 0 = 0$$ 6. **Somme des composantes :** $$x_{total} = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -574.05 + 0 - 1414.21 - 300 = -2288.26$$ $$y_{total} = y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = -1385.85 + 800 + 1414.21 + 0 = 828.36$$ 7. **Distance directe à la balise :** $$d = \sqrt{x_{total}^2 + y_{total}^2} = \sqrt{(-2288.26)^2 + 828.36^2} = \sqrt{5233520 + 686168} = \sqrt{5929688} \approx 2434.68\text{ m}$$ 8. **Angle à la boussole :** L'angle $\alpha$ est donné par : $$\alpha = \arctan\left(\frac{|x_{total}|}{y_{total}}\right) = \arctan\left(\frac{2288.26}{828.36}\right) \approx 70.3^\circ$$ Le vecteur est dans le quadrant II (car $x$ négatif, $y$ positif), donc l'angle horaire depuis le nord est : $$\theta = 360^\circ - 70.3^\circ = 289.7^\circ$$ 9. **Réponse finale arrondie au centième :** - Distance directe : 2434.68 m - Angle à la boussole : 289.70°