1. **Énoncé du problème** : Trouver la valeur exacte de $k$ telle que $\overrightarrow{AM} = k \ \overrightarrow{AB}$ sur une droite horizontale avec les points $A$, $B$, et $M$ alignés dans cet ordre. 2. **Formule utilisée** : Pour deux vecteurs colinéaires sur une droite, $\overrightarrow{AM} = k \ \overrightarrow{AB}$ signifie que $k$ est le rapport des longueurs orientées $\frac{AM}{AB}$. 3. **Règles importantes** : - Si $k > 1$, $M$ est au-delà de $B$ dans la même direction. - Si $0 < k < 1$, $M$ est entre $A$ et $B$. - Si $k < 0$, $M$ est dans la direction opposée à $B$ par rapport à $A$. 4. **Calcul de $k$** : - Supposons que les coordonnées sur la droite soient $x_A$, $x_B$, $x_M$. - Alors $\overrightarrow{AB} = x_B - x_A$ et $\overrightarrow{AM} = x_M - x_A$. - Donc $k = \frac{x_M - x_A}{x_B - x_A}$. 5. **Application** : - Puisque $A$, $B$, $M$ sont alignés horizontalement avec $A$ à gauche, $B$ au milieu, et $M$ à droite de $B$, on peut poser par exemple $x_A = 0$, $x_B = 1$, $x_M = m$ avec $m > 1$. - Donc $k = \frac{m - 0}{1 - 0} = m$. 6. **Conclusion** : La valeur exacte de $k$ est la distance orientée de $A$ à $M$ divisée par la distance orientée de $A$ à $B$, soit $k = \frac{AM}{AB}$. **Réponse finale** : $$k = \frac{AM}{AB}$$