1. Énonçons le problème : Montrer que le quadrilatère IJNM est un parallélogramme dont le centre G est l'isobarycentre de FAL, où M est le milieu de [LI] et N est le milieu de [KL].
2. Rappelons que pour deux points P et Q, le vecteur milieu M_{PQ} est donné par $$\overrightarrow{M_{PQ}} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{P} + \overrightarrow{Q})$$.
3. Calculons les vecteurs des points M et N :
- $$\overrightarrow{M} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{L} + \overrightarrow{I})$$
- $$\overrightarrow{N} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{K} + \overrightarrow{L})$$
4. Exprimons les vecteurs \(\overrightarrow{I}\) et \(\overrightarrow{K}\) en fonction de \(\overrightarrow{F}, \overrightarrow{A}, \overrightarrow{L}\) selon les barycentres donnés :
- I est barycentre de \((F,2);(L,1)\) donc $$\overrightarrow{I} = \frac{2\overrightarrow{F} + 1\overrightarrow{L}}{2+1} = \frac{2\overrightarrow{F} + \overrightarrow{L}}{3}$$
- K est barycentre de \((L,1);(A,-4)\) donc $$\overrightarrow{K} = \frac{1\overrightarrow{L} - 4\overrightarrow{A}}{1 - 4} = \frac{\overrightarrow{L} - 4\overrightarrow{A}}{-3} = \frac{4\overrightarrow{A} - \overrightarrow{L}}{3}$$
5. Substituons dans \(\overrightarrow{M}\) et \(\overrightarrow{N}\) :
- $$\overrightarrow{M} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{L} + \frac{2\overrightarrow{F} + \overrightarrow{L}}{3}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{3\overrightarrow{L} + 2\overrightarrow{F} + \overrightarrow{L}}{3}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\overrightarrow{L} + 2\overrightarrow{F}}{3} = \frac{2\overrightarrow{L} + \overrightarrow{F}}{3}$$
- $$\overrightarrow{N} = \frac{1}{2} \left( \frac{4\overrightarrow{A} - \overrightarrow{L}}{3} + \overrightarrow{L} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{4\overrightarrow{A} - \overrightarrow{L} + 3\overrightarrow{L}}{3} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\overrightarrow{A} + 2\overrightarrow{L}}{3} = \frac{2\overrightarrow{A} + \overrightarrow{L}}{3}$$
6. Calculons maintenant \(\overrightarrow{I J}\) et \(\overrightarrow{N M}\) :
- J est barycentre de \((F,1);(A,2)\) donc $$\overrightarrow{J} = \frac{\overrightarrow{F} + 2\overrightarrow{A}}{3}$$
- $$\overrightarrow{I J} = \overrightarrow{J} - \overrightarrow{I} = \frac{\overrightarrow{F} + 2\overrightarrow{A}}{3} - \frac{2\overrightarrow{F} + \overrightarrow{L}}{3} = \frac{\overrightarrow{F} + 2\overrightarrow{A} - 2\overrightarrow{F} - \overrightarrow{L}}{3} = \frac{-\overrightarrow{F} + 2\overrightarrow{A} - \overrightarrow{L}}{3}$$
- $$\overrightarrow{N M} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{N} = \frac{2\overrightarrow{L} + \overrightarrow{F}}{3} - \frac{2\overrightarrow{A} + \overrightarrow{L}}{3} = \frac{2\overrightarrow{L} + \overrightarrow{F} - 2\overrightarrow{A} - \overrightarrow{L}}{3} = \frac{\overrightarrow{L} + \overrightarrow{F} - 2\overrightarrow{A}}{3}$$
7. Observons que $$\overrightarrow{I J} + \overrightarrow{N M} = \frac{-\overrightarrow{F} + 2\overrightarrow{A} - \overrightarrow{L}}{3} + \frac{\overrightarrow{L} + \overrightarrow{F} - 2\overrightarrow{A}}{3} = \overrightarrow{0}$$
Donc $$\overrightarrow{I J} = - \overrightarrow{N M}$$, ce qui signifie que les vecteurs \(\overrightarrow{I J}\) et \(\overrightarrow{N M}\) sont opposés et de même longueur.
8. De même, calculons \(\overrightarrow{J N}\) et \(\overrightarrow{M I}\) :
- $$\overrightarrow{J N} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{J} = \frac{2\overrightarrow{A} + \overrightarrow{L}}{3} - \frac{\overrightarrow{F} + 2\overrightarrow{A}}{3} = \frac{2\overrightarrow{A} + \overrightarrow{L} - \overrightarrow{F} - 2\overrightarrow{A}}{3} = \frac{\overrightarrow{L} - \overrightarrow{F}}{3}$$
- $$\overrightarrow{M I} = \overrightarrow{I} - \overrightarrow{M} = \frac{2\overrightarrow{F} + \overrightarrow{L}}{3} - \frac{2\overrightarrow{L} + \overrightarrow{F}}{3} = \frac{2\overrightarrow{F} + \overrightarrow{L} - 2\overrightarrow{L} - \overrightarrow{F}}{3} = \frac{\overrightarrow{F} - \overrightarrow{L}}{3} = - \overrightarrow{J N}$$
9. Ainsi, les côtés opposés du quadrilatère IJNM sont égaux et parallèles, donc IJNM est un parallélogramme.
10. Enfin, le centre G du parallélogramme est le point d'intersection des diagonales, donné par :
$$\overrightarrow{G} = \frac{\overrightarrow{I} + \overrightarrow{N}}{2} = \frac{\frac{2\overrightarrow{F} + \overrightarrow{L}}{3} + \frac{2\overrightarrow{A} + \overrightarrow{L}}{3}}{2} = \frac{2\overrightarrow{F} + \overrightarrow{L} + 2\overrightarrow{A} + \overrightarrow{L}}{6} = \frac{2\overrightarrow{F} + 2\overrightarrow{A} + 2\overrightarrow{L}}{6} = \frac{\overrightarrow{F} + \overrightarrow{A} + \overrightarrow{L}}{3}$$
Ce qui est précisément l'isobarycentre de F, A, L avec poids égaux.
**Réponse finale :** Le quadrilatère IJNM est un parallélogramme dont le centre G est l'isobarycentre de F, A, L.
Parallelogramme Isobarycentre E60433
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