1. **Énoncé du problème :** Soit un parallélogramme ABCD de centre O. 4.a/ Construire le point P tel que $$\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MD}$$ avec M un point de (IJ), où $$I = mil[AD]$$ et $$J = mil[BC]$$. 4.b/ Montrer que $$\overrightarrow{MI} = \overrightarrow{IP}$$. --- **Solution 4.a :** 1. Le point M appartient au segment (IJ), donc $$\overrightarrow{M} = \overrightarrow{I} + t(\overrightarrow{J} - \overrightarrow{I})$$ pour un certain $$t \in [0,1]$$. 2. Par définition, $$I = mil[AD]$$ donc $$\overrightarrow{I} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{D}}{2}$$. 3. De même, $$J = mil[BC]$$ donc $$\overrightarrow{J} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2}$$. 4. Calculons $$\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MD}$$. 5. On a $$\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{M}$$ et $$\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{M}$$. 6. Donc $$\overrightarrow{MP} = (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{M}) + (\overrightarrow{D} - \overrightarrow{M}) = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{D} - 2\overrightarrow{M}$$. 7. Ainsi, $$\overrightarrow{P} = \overrightarrow{M} + \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{M} + \overrightarrow{A} + \overrightarrow{D} - 2\overrightarrow{M} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{D} - \overrightarrow{M}$$. --- **Solution 4.b :** 1. Montrons que $$\overrightarrow{MI} = \overrightarrow{IP}$$. 2. $$\overrightarrow{MI} = \overrightarrow{I} - \overrightarrow{M}$$ et $$\overrightarrow{IP} = \overrightarrow{P} - \overrightarrow{I}$$. 3. Calculons $$\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IP} = (\overrightarrow{I} - \overrightarrow{M}) + (\overrightarrow{P} - \overrightarrow{I}) = \overrightarrow{P} - \overrightarrow{M} = \overrightarrow{MP}$$. 4. Or, par définition, $$\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MD}$$. 5. D'après 4.a, $$\overrightarrow{P} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{D} - \overrightarrow{M}$$, donc $$\overrightarrow{IP} = (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{D} - \overrightarrow{M}) - \overrightarrow{I}$$. 6. Comme $$\overrightarrow{I} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{D}}{2}$$, on a $$\overrightarrow{IP} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{D}}{2} - \overrightarrow{M} = \overrightarrow{MI}$$. --- **Exercice 2, question 1.a :** Simplifier $$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DC}$$. 1. Rappel des définitions vectorielles : $$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}$$ $$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}$$ $$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{D}$$ 2. Calcul : $$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DC} = (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}) - (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{D})$$ $$= \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C} + \overrightarrow{A} + \overrightarrow{C} - \overrightarrow{D}$$ $$= \overrightarrow{B} - \overrightarrow{D}$$ 3. Donc $$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{BD}$$. --- **Exercice 2, question 1.b :** En déduire que $$\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AC}$$. 1. Partons de l'égalité précédente : $$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{BD}$$. 2. Réarrangeons : $$\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AC}$$. 3. Or $$\overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{DB}$$, donc $$\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AC}$$. 4. En multipliant par -1, on obtient la relation demandée. --- **Desmos minimal :** "latex": "", "features": { "intercepts": true, "extrema": true } --- **Nombre total de questions dans le message : 7** (4.a, 4.b, 2.1.a, 2.1.b, 2.2, 2.3, 2.4 mais on ne résout que la première question complète 4.a et 4.b et la première question de l'exercice 2 car la consigne est de ne résoudre que la première question complète).