1. **Énoncé du problème :** Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{AE}$ dans le rectangle $ABCD$ avec $AB=3$ et $AD=7$, où $E$ est défini par $\overrightarrow{BE} = \frac{1}{7} \overrightarrow{BC}$ et $F$ par $\overrightarrow{DF} = \frac{1}{3} \overrightarrow{DC}$. 2. **Formules et rappels :** - Relation de Chasles : $\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{XZ} + \overrightarrow{ZY}$. - Bilinéarité du produit scalaire : $\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}$. - Produit scalaire dans un rectangle : côtés adjacents sont orthogonaux donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$. 3. **Exprimer $\overrightarrow{AF}$ et $\overrightarrow{AE}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ :** - $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ (car $ABCD$ rectangle). - $\overrightarrow{BE} = \frac{1}{7} \overrightarrow{BC} = \frac{1}{7}(-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})$. - Donc $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{7}(-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = \overrightarrow{AB} - \frac{1}{7} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{7} \overrightarrow{AD} = \frac{6}{7} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{7} \overrightarrow{AD}$. - $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}$. - $\overrightarrow{DF} = \frac{1}{3} \overrightarrow{DC} = \frac{1}{3}(-\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB})$. - Donc $\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DF} = \overrightarrow{AD} + \frac{1}{3}(-\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AD} - \frac{1}{3} \overrightarrow{AD} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AD} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AB}$. 4. **Calcul du produit scalaire $\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{AE}$ :** $$\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{AE} = \left(\frac{2}{3} \overrightarrow{AD} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AB}\right) \cdot \left(\frac{6}{7} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{7} \overrightarrow{AD}\right)$$ En développant avec la bilinéarité : $$= \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{7} (\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB}) + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{7} (\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AD}) + \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{7} (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD})$$ Comme $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}$, on a $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$ et $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$. Donc : $$= \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{7} ||\overrightarrow{AD}||^2 + \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{7} ||\overrightarrow{AB}||^2 = \frac{2}{21} \times 7^2 + \frac{6}{21} \times 3^2$$ Calculons : $$= \frac{2}{21} \times 49 + \frac{6}{21} \times 9 = \frac{98}{21} + \frac{54}{21} = \frac{152}{21}$$ 5. **Réponse finale :** $$\boxed{\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{AE} = \frac{152}{21} \approx 7,24}$$