1. **Énoncé du problème :** Calculer les produits scalaires suivants dans un triangle équilatéral ABC de côté 6, avec I milieu de [BC] et J milieu de [AC] : a) $\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AC}$ b) $\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{CJ}$. 2. **Rappel de la formule du produit scalaire :** Pour deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, le produit scalaire est donné par $$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \|\overrightarrow{u}\| \times \|\overrightarrow{v}\| \times \cos(\theta)$$ où $\theta$ est l'angle entre les deux vecteurs. 3. **Données et observations :** - Triangle équilatéral ABC, donc tous les côtés mesurent 6. - I est le milieu de [BC], donc $\overrightarrow{BI} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}$. - J est le milieu de [AC], donc $\overrightarrow{AJ} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}$. 4. **Calcul de $\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AC}$ :** - $\overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{BC}$. - Les vecteurs $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AC}$ forment un angle de 60° dans un triangle équilatéral. - Donc $\theta = 60^\circ$. - Normes : $\|\overrightarrow{CB}\| = 6$, $\|\overrightarrow{AC}\| = 6$. Calcul : $$\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AC} = 6 \times 6 \times \cos(60^\circ) = 36 \times \frac{1}{2} = 18$$ 5. **Calcul de $\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{CJ}$ :** - $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}$. - $\overrightarrow{CJ} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{CA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}$. Or, $\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}$, donc $$\overrightarrow{CJ} = -\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{AC}$$ Donc $$\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{CJ} = \left(\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2} \overrightarrow{AC}\right) = -\frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} - \frac{1}{4} \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC}$$ - Dans un triangle équilatéral, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ forment un angle de 60°. - $\|\overrightarrow{AB}\| = \|\overrightarrow{AC}\| = 6$. - $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC} = 36 \times \cos(60^\circ) = 18$ (comme calculé précédemment). Calcul de $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ : $$6 \times 6 \times \cos(60^\circ) = 36 \times \frac{1}{2} = 18$$ Donc $$\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{CJ} = -\frac{1}{2} \times 18 - \frac{1}{4} \times 18 = -9 - 4.5 = -13.5$$ **Réponses finales :** a) $\boxed{18}$ b) $\boxed{-13.5}$