1. **Énoncé du problème :** Soit un triangle ABC avec les points I, J, K tels que : - I est le milieu de [AB], - $\vec{JI} = \frac{2}{3} \vec{IA}$, - $\vec{BK} = 3 \vec{BC}$. Vérifier que $\vec{IJ} = 3 \vec{AC}$. 2. **Formules et règles importantes :** - Le vecteur entre deux points $X$ et $Y$ est $\vec{XY} = \vec{OY} - \vec{OX}$ où $O$ est un point origine quelconque. - Si $I$ est milieu de $[AB]$, alors $\vec{OI} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$. - Relation entre vecteurs : $\vec{IJ} = \vec{OJ} - \vec{OI}$. 3. **Calculs intermédiaires :** - Puisque $I$ est milieu de $[AB]$, $\vec{OI} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$. - D'après $\vec{JI} = \frac{2}{3} \vec{IA}$, on a $\vec{OJ} - \vec{OI} = \frac{2}{3} (\vec{OA} - \vec{OI})$. Isolons $\vec{OJ}$ : $$\vec{OJ} = \vec{OI} + \frac{2}{3} (\vec{OA} - \vec{OI}) = \vec{OI} + \frac{2}{3} \vec{OA} - \frac{2}{3} \vec{OI} = \frac{1}{3} \vec{OI} + \frac{2}{3} \vec{OA}$$ Substituons $\vec{OI} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$ : $$\vec{OJ} = \frac{1}{3} \times \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2} + \frac{2}{3} \vec{OA} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{6} + \frac{2}{3} \vec{OA} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{6} + \frac{4}{6} \vec{OA} = \frac{5}{6} \vec{OA} + \frac{1}{6} \vec{OB}$$ Calculons maintenant $\vec{IJ} = \vec{OJ} - \vec{OI}$ : $$\vec{IJ} = \left(\frac{5}{6} \vec{OA} + \frac{1}{6} \vec{OB}\right) - \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2} = \frac{5}{6} \vec{OA} + \frac{1}{6} \vec{OB} - \frac{3}{6} \vec{OA} - \frac{3}{6} \vec{OB} = \frac{2}{6} \vec{OA} - \frac{2}{6} \vec{OB} = \frac{1}{3} (\vec{OA} - \vec{OB})$$ Or, $\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA}$, mais ici on a $\vec{IJ} = \frac{1}{3} (\vec{OA} - \vec{OB}) = \frac{1}{3} \vec{AB}$. Il semble y avoir une erreur dans l'énoncé ou dans la relation à vérifier. Cependant, si on considère $\vec{IJ} = 3 \vec{AC}$, on peut vérifier en remplaçant par les vecteurs. 4. **Conclusion :** La relation $\vec{IJ} = 3 \vec{AC}$ n'est pas vérifiée avec les données données, mais plutôt $\vec{IJ} = \frac{1}{3} \vec{AB}$. **Réponse finale :** $$\boxed{\vec{IJ} = \frac{1}{3} \vec{AB} \neq 3 \vec{AC}}$$