1. **Énoncé du problème :** Nous devons compléter les égalités vectorielles et simplifier des expressions vectorielles données, ainsi que construire le point $D$ tel que $\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC}$ dans différents cas. 2. **Rappel des propriétés importantes :** - Pour deux points $X$ et $Y$, $\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{OY} - \overrightarrow{OX}$. - La soustraction de vecteurs correspond à l'addition du vecteur opposé. - La relation $\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC}$ signifie que $D$ est obtenu en partant de $O$ puis en allant vers $A$ puis en revenant vers $C$. 3. **Complétons les égalités vectorielles :** a) $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AB}$ car $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$. b) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AC}$ car $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} = (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) - (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}) = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AC}$. c) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}$ car tout vecteur moins lui-même est le vecteur nul. d) $\overrightarrow{EA} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{EA} - \overrightarrow{AB}$, donc pour que $\ldots - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{EA}$, il faut $\ldots = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{EB}$. 4. **Simplification des expressions vectorielles :** a) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) - (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}) + (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB})$ Simplifions : $$ = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{0} $$ b) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC} = (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) + (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}) - (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB})$ Simplifions : $$ = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OB} - 2\overrightarrow{OA} = 2\overrightarrow{AB} $$ c) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CB} = (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) - (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}) - (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC})$ Simplifions : $$ = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0} $$ 5. **Simplification avec parenthèses et coefficients :** a) $\overrightarrow{AB} - (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC}$. b) $2(\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}) + \overrightarrow{AB} = 2(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} - (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC})) + (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA})$ Simplifions : $$ = 2(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) + \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = 2(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) + \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AB} $$ c) $-(- 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}) - (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ Simplifions : $$ = (2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB}) + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AC} $$ Or $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}$, donc $$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AC} = (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) + (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}) = 2\overrightarrow{AC} $$ 6. **Construction du point $D$ tel que $\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC}$ :** - $D$ est obtenu en partant de $O$, puis en allant vers $A$, puis en revenant vers $C$. - Géométriquement, $D$ est le point tel que le vecteur $\overrightarrow{OD}$ est la différence des vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OC}$. 7. **Expressions vectorielles sur la droite graduée (OI) :** - Si $O$ est l'origine et $I$ l'unité, alors chaque vecteur peut s'exprimer en multiples scalaires de $\overrightarrow{OI}$. - Par exemple, si $A$ est à la position 4, $B$ à 2, $C$ à 5, $D$ à 1 sur la droite, alors $$ \overrightarrow{AB} = (2 - 4)\overrightarrow{OI} = -2\overrightarrow{OI} $$ $$ \overrightarrow{AC} = (5 - 4)\overrightarrow{OI} = 1\overrightarrow{OI} $$ $$ \overrightarrow{CB} = (2 - 5)\overrightarrow{OI} = -3\overrightarrow{OI} $$ $$ \overrightarrow{AC} = \ldots \overrightarrow{BD} $$ Cette dernière dépend des positions relatives de $B$ et $D$. --- **Réponse finale :** a) $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AB}$ b) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AC}$ c) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}$ d) $\overrightarrow{EB} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{EA}$ Expressions simplifiées : a) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}$ b) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{AB}$ c) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{0}$ Expressions avec parenthèses : a) $\overrightarrow{AC}$ b) $3\overrightarrow{AB}$ c) $2\overrightarrow{AC}$ Construction de $D$ : $\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC}$ q_count: 5