1. **Énoncé du problème :** Trouver les vecteurs $\overrightarrow{AP}$ et $\overrightarrow{AQ}$ dans un parallélogramme ABCD tels que $\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AB}$ $\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AC}$. 2. **Formule utilisée :** On a un système de vecteurs à deux inconnues $\overrightarrow{AP}$ et $\overrightarrow{AQ}$ : $$\begin{cases} \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AC} \end{cases}$$ 3. **Résolution du système :** Additionnons les deux équations : $$\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AQ} + \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$$ $$2\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$$ On simplifie en divisant par 2 : $$\cancel{2}\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \\ \frac{\cancel{2}\overrightarrow{AP}}{\cancel{2}} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2}$$ Donc : $$\overrightarrow{AP} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2}$$ 4. Soustrayons la deuxième équation de la première : $$\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AQ} - (\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AQ}) = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$$ $$\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$$ $$2\overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$$ On simplifie en divisant par 2 : $$\cancel{2}\overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} \\ \frac{\cancel{2}\overrightarrow{AQ}}{\cancel{2}} = \frac{\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}}{2}$$ Donc : $$\overrightarrow{AQ} = \frac{\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}}{2}$$ 5. **Interprétation :** Les vecteurs $\overrightarrow{AP}$ et $\overrightarrow{AQ}$ sont donc les demi-sommes et demi-différences des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. **Réponse finale :** $$\boxed{\overrightarrow{AP} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2}, \quad \overrightarrow{AQ} = \frac{\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}}{2}}$$