1. **Énoncé du problème Ex 3** : Construire les points $M$ et $N$ tels que $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$. Montrer que $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{NM}$. 2. **Formules et rappels** : - Pour tout point $X$, $\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{OY} - \overrightarrow{OX}$ où $O$ est un point origine. - Dans un parallélogramme $ABCD$, $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. 3. **Construction de $M$ et $N$** : - $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ signifie que $M$ est obtenu en partant de $A$ puis en suivant $\overrightarrow{AB}$ puis $\overrightarrow{AC}$. - $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ signifie que $N$ est obtenu en partant de $A$ puis en suivant $\overrightarrow{AC}$ puis $\overrightarrow{AD}$. 4. **Calcul de $\overrightarrow{NM}$** : $$\overrightarrow{NM} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) - (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$$ 5. **Calcul de $\overrightarrow{DB}$** : $$\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$$ 6. **Conclusion** : On a $$\overrightarrow{NM} = \overrightarrow{DB}$$ ce qui montre la propriété demandée. --- 1. **Énoncé du problème Ex 11** : Soit $ABC$ un triangle et $I$ le milieu de $[BC]$. Construire $D$ tel que $$\overrightarrow{D} = c \overrightarrow{A} + \overrightarrow{IB}$$ Montrer que $$\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AI}$$ 2. **Rappel** : - $I$ milieu de $[BC]$ implique $$\overrightarrow{I} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2}$$ - Vecteur entre deux points $X$ et $Y$ : $$\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{Y} - \overrightarrow{X}$$ 3. **Calcul de $\overrightarrow{D}$** : $$\overrightarrow{D} = c \overrightarrow{A} + \overrightarrow{IB} = c \overrightarrow{A} + (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{I})$$ 4. **Calcul de $\overrightarrow{DB}$** : $$\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{D} = \overrightarrow{B} - \left(c \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} - \overrightarrow{I}\right) = - c \overrightarrow{A} + \overrightarrow{I}$$ 5. **Calcul de $\overrightarrow{AI}$** : $$\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{I} - \overrightarrow{A}$$ 6. **Pour que $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AI}$, on doit avoir** : $$- c \overrightarrow{A} + \overrightarrow{I} = \overrightarrow{I} - \overrightarrow{A} \Rightarrow - c \overrightarrow{A} = - \overrightarrow{A} \Rightarrow c = 1$$ 7. **Conclusion** : Si $c=1$, alors $$\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AI}$$ --- 1. **Énoncé du problème Ex 55** : Simplifier les vecteurs suivants : - $\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{GE} + \overrightarrow{FG}$ - $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BD} + c \overrightarrow{A} - c \overrightarrow{B}$ - $\overrightarrow{FE} - \overrightarrow{GE} - \overrightarrow{GF} + \overrightarrow{GH} + \overrightarrow{GF}$ - $\overrightarrow{ED} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{EA} - \overrightarrow{BC}$ 2. **Rappel** : - $\overrightarrow{XY} = - \overrightarrow{YX}$ - $\overrightarrow{XY} + \overrightarrow{YZ} = \overrightarrow{XZ}$ 3. **Simplification 1** : $$\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{GE} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{GE} + \overrightarrow{FG}$$ Remarquons que $$\overrightarrow{GE} = - \overrightarrow{EG}$$ et $$\overrightarrow{FG} = - \overrightarrow{GF}$$ Mais ici, on peut regrouper en cycle : $$\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG} + \overrightarrow{GE} = \overrightarrow{EG} + \overrightarrow{GE} = \overrightarrow{0}$$ Donc $$\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{GE} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{0}$$ 4. **Simplification 2** : $$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BD} + c \overrightarrow{A} - c \overrightarrow{B}$$ On sait que $$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{D} - 2 \overrightarrow{B} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{B}$$ Mais mieux vaut écrire $$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} - (\overrightarrow{D} - \overrightarrow{B}) = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{D} + \overrightarrow{B}$$ Ceci est confus, donc utilisons la relation vectorielle : $$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}$$ Donc $$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BD} + c \overrightarrow{A} - c \overrightarrow{B} = \overrightarrow{AD} + c (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B})$$ 5. **Simplification 3** : $$\overrightarrow{FE} - \overrightarrow{GE} - \overrightarrow{GF} + \overrightarrow{GH} + \overrightarrow{GF}$$ On remarque que $- \overrightarrow{GF} + \overrightarrow{GF} = \overrightarrow{0}$ Donc $$\overrightarrow{FE} - \overrightarrow{GE} + \overrightarrow{GH}$$ On peut écrire $$\overrightarrow{FE} = - \overrightarrow{EF}, \quad - \overrightarrow{GE} = \overrightarrow{EG}$$ Donc $$- \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{EG} + \overrightarrow{GH}$$ On peut regrouper $$\overrightarrow{EG} + \overrightarrow{GH} = \overrightarrow{EH}$$ Donc $$- \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{EH} = \overrightarrow{EH} - \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{FH}$$ 6. **Simplification 4** : $$\overrightarrow{ED} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{EA} - \overrightarrow{BC}$$ On regroupe en utilisant la relation $$\overrightarrow{ED} - \overrightarrow{EA} = \overrightarrow{AD}$$ et $$\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$$ Donc $$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DC}$$ Mais $$\overrightarrow{DC} = - \overrightarrow{CD}$$ Donc $$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CD}) = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD} = 2 \overrightarrow{AD}$$ --- **Résumé final :** - Ex 3 : $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{NM}$ - Ex 11 : si $c=1$, alors $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AI}$ - Ex 55 : - $\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{GE} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{0}$ - $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BD} + c \overrightarrow{A} - c \overrightarrow{B} = \overrightarrow{AD} + c (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B})$ - $\overrightarrow{FE} - \overrightarrow{GE} - \overrightarrow{GF} + \overrightarrow{GH} + \overrightarrow{GF} = \overrightarrow{FH}$ - $\overrightarrow{ED} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{EA} - \overrightarrow{BC} = 2 \overrightarrow{AD}$