1. Énoncé du problème : Deux cônes semblables ont des volumes respectifs de 120 cm^3 (petit cône) et 960 cm^3 (grand cône). La hauteur du grand cône est de 24 cm. On cherche l'aire de la base du plus petit cône. 2. Rappel des propriétés des solides semblables : - Le rapport de similitude des longueurs est $k = \frac{h_\text{petit}}{h_\text{grand}}$. - Le rapport des volumes est $k^3 = \frac{V_\text{petit}}{V_\text{grand}}$. - Le rapport des aires est $k^2 = \frac{A_\text{petit}}{A_\text{grand}}$. 3. Calcul du rapport de similitude $k$ à partir des volumes : $$k^3 = \frac{120}{960} = \frac{1}{8}$$ $$k = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$$ 4. Calcul de la hauteur du petit cône : $$h_\text{petit} = k \times h_\text{grand} = \frac{1}{2} \times 24 = 12\text{ cm}$$ 5. Aire de la base du grand cône : On utilise la formule du volume d'un cône : $$V = \frac{1}{3} A h \Rightarrow A = \frac{3V}{h}$$ Pour le grand cône : $$A_\text{grand} = \frac{3 \times 960}{24} = \frac{2880}{24} = 120\text{ cm}^2$$ 6. Aire de la base du petit cône : $$\frac{A_\text{petit}}{A_\text{grand}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$ $$A_\text{petit} = \frac{1}{4} \times 120 = 30\text{ cm}^2$$ 7. Résultat final : L'aire de la base du plus petit cône est de $30$ cm$^2$. Note : La réponse donnée 150,28 cm semble être une autre mesure (peut-être la surface latérale ou totale), mais selon les données et la méthode, l'aire de la base est $30$ cm$^2$.