1. **Énoncé du problème :** Trouver la valeur de $x$ sachant que l'aire totale de la figure composée de trois rectangles est de 45 m². 2. **Données du dessin :** - Rectangle gauche orange : largeur = 6 m, hauteur = $6 + x$ (car hauteur totale = hauteur des deux rectangles de droite) - Rectangle bleu (en haut à droite) : carré de côté $x$, donc aire = $x^2$ - Rectangle vert (en bas à droite) : largeur = $x$, hauteur = 6, donc aire = $6x$ 3. **Formule de l'aire totale :** $$\text{Aire totale} = \text{aire rectangle gauche} + \text{aire rectangle bleu} + \text{aire rectangle vert}$$ 4. **Calcul de l'aire du rectangle gauche :** La hauteur du rectangle gauche est la somme des hauteurs des deux rectangles de droite, soit $x + 6$. Donc, aire rectangle gauche = largeur $\times$ hauteur = $6 \times (x + 6) = 6x + 36$ 5. **Expression de l'aire totale :** $$45 = (6x + 36) + x^2 + 6x$$ 6. **Simplification :** $$45 = x^2 + 6x + 6x + 36$$ $$45 = x^2 + 12x + 36$$ 7. **Mise en forme de l'équation :** $$x^2 + 12x + 36 = 45$$ $$x^2 + 12x + 36 - 45 = 0$$ $$x^2 + 12x - 9 = 0$$ 8. **Résolution de l'équation quadratique :** Utilisation de la formule quadratique $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ avec $a=1$, $b=12$, $c=-9$. Calcul du discriminant : $$\Delta = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \times 1 \times (-9) = 144 + 36 = 180$$ 9. **Calcul des racines :** $$x = \frac{-12 \pm \sqrt{180}}{2} = \frac{-12 \pm \sqrt{36 \times 5}}{2} = \frac{-12 \pm 6\sqrt{5}}{2}$$ Simplification : $$x = \frac{\cancel{-12} \pm \cancel{6}\sqrt{5}}{\cancel{2} \times 1} = -6 \pm 3\sqrt{5}$$ 10. **Choix de la solution positive :** Comme $x$ représente une longueur, on prend la solution positive : $$x = -6 + 3\sqrt{5}$$ 11. **Valeur approchée :** $$\sqrt{5} \approx 2.236$$ $$x \approx -6 + 3 \times 2.236 = -6 + 6.708 = 0.708$$ **Réponse finale :** $$\boxed{x \approx 0.71 \text{ m}}$$