1. **Énoncé du problème** : Nous avons un parc agrothermique ABC dans un plan cartésien avec les points A(3,1), C(8,6) et B sur l'axe des ordonnées (y). La conseillère affirme que la superficie du parc est supérieure à 9 hectomètres carrés (hm²). 2. **Formule utilisée** : La superficie d'un triangle est donnée par $$\text{Aire} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur}$$ 3. **Détermination de la base AC** : Calculons la distance entre A(3,1) et C(8,6) : $$AC = \sqrt{(8-3)^2 + (6-1)^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$ 4. **Détermination de la hauteur BD** : Le point B est sur l'axe des ordonnées, donc sa coordonnée x est 0, soit B(0,y_B). Le segment BD est perpendiculaire à AC et D est le pied de la hauteur sur AC. 5. **Équation de la droite AC** : La pente de AC est $$m = \frac{6-1}{8-3} = \frac{5}{5} = 1$$ L'équation de AC passant par A(3,1) est : $$y - 1 = 1(x - 3) \Rightarrow y = x - 2$$ 6. **Coordonnées de D (projection de B sur AC)** : D est sur AC donc $$y_D = x_D - 2$$ BD est perpendiculaire à AC, donc la pente de BD est $$-1$$ (pente négative inverse de 1). La droite BD passe par B(0,y_B) et D(x_D,y_D), donc : $$y_D - y_B = -1(x_D - 0) \Rightarrow y_D = -x_D + y_B$$ 7. **Système pour trouver D** : $$\begin{cases} y_D = x_D - 2 \\ y_D = -x_D + y_B \end{cases}$$ Égalisons : $$x_D - 2 = -x_D + y_B \Rightarrow 2x_D = y_B + 2 \Rightarrow x_D = \frac{y_B + 2}{2}$$ 8. **Calcul de la hauteur BD** : La distance BD est : $$BD = \sqrt{(x_D - 0)^2 + (y_D - y_B)^2}$$ Substituons $y_D = x_D - 2$ : $$BD = \sqrt{x_D^2 + (x_D - 2 - y_B)^2}$$ 9. **Valeur de y_B** : Le point B est sur l'axe y, mais sa coordonnée y n'est pas donnée explicitement. Cependant, on sait que B est un sommet du triangle et que la hauteur BD est perpendiculaire à AC. 10. **Utilisation de la formule de l'aire avec coordonnées** : L'aire du triangle ABC peut aussi se calculer directement par la formule : $$\text{Aire} = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$$ Avec A(3,1), C(8,6), B(0,y_B) : $$\text{Aire} = \frac{1}{2} |3(y_B - 6) + 0(6 - 1) + 8(1 - y_B)| = \frac{1}{2} |3y_B - 18 + 8 - 8y_B| = \frac{1}{2} |-5y_B - 10| = \frac{1}{2} (5|y_B + 2|) = \frac{5}{2} |y_B + 2|$$ 11. **Condition sur l'aire** : La conseillère affirme que l'aire est supérieure à 9 hm², donc : $$\frac{5}{2} |y_B + 2| > 9 \Rightarrow |y_B + 2| > \frac{18}{5} = 3.6$$ 12. **Interprétation** : Cela signifie que : $$y_B + 2 > 3.6 \quad \text{ou} \quad y_B + 2 < -3.6$$ $$y_B > 1.6 \quad \text{ou} \quad y_B < -5.6$$ 13. **Conclusion** : Le point B doit être sur l'axe y avec une ordonnée $y_B$ strictement supérieure à 1.6 ou strictement inférieure à -5.6 pour que l'aire soit supérieure à 9 hm². Sans la valeur exacte de $y_B$, on ne peut pas confirmer ni infirmer la déclaration de la conseillère. Si $y_B$ est dans ces intervalles, la superficie est bien supérieure à 9 hm². **Réponse finale** : La superficie du parc dépend de la position de B sur l'axe y. Si $y_B > 1.6$ ou $y_B < -5.6$, alors la superficie est supérieure à 9 hm², confirmant la conseillère. Sinon, elle est inférieure.