1. **Énoncé du problème :** Nous avons un prisme triangulaire droit avec une base triangulaire dont les côtés mesurent 3,0 cm, 2,8 cm et 3,2 cm, et une hauteur (longueur) de 10,0 cm. Nous devons trouver l'aire totale du prisme. 2. **Formule utilisée :** L'aire totale $A_{totale}$ d'un prisme droit est la somme de l'aire des deux bases triangulaires plus l'aire latérale. $$A_{totale} = 2 \times A_{base} + A_{latérale}$$ L'aire latérale est le périmètre de la base multiplié par la hauteur : $$A_{latérale} = P_{base} \times h$$ 3. **Calcul de l'aire de la base triangulaire :** On utilise la formule de Héron pour l'aire d'un triangle avec côtés $a$, $b$, $c$ : $$s = \frac{a+b+c}{2}$$ $$A_{base} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ Ici, $a=3,0$, $b=2,8$, $c=3,2$ cm. Calculons $s$ : $$s = \frac{3,0 + 2,8 + 3,2}{2} = \frac{9,0}{2} = 4,5$$ Calculons l'aire : $$A_{base} = \sqrt{4,5(4,5-3,0)(4,5-2,8)(4,5-3,2)} = \sqrt{4,5 \times 1,5 \times 1,7 \times 1,3}$$ Calculons le produit sous la racine : $$4,5 \times 1,5 = 6,75$$ $$6,75 \times 1,7 = 11,475$$ $$11,475 \times 1,3 = 14,9175$$ Donc : $$A_{base} = \sqrt{14,9175} \approx 3,86 \text{ cm}^2$$ 4. **Calcul du périmètre de la base :** $$P_{base} = 3,0 + 2,8 + 3,2 = 9,0 \text{ cm}$$ 5. **Calcul de l'aire latérale :** $$A_{latérale} = P_{base} \times h = 9,0 \times 10,0 = 90,0 \text{ cm}^2$$ 6. **Calcul de l'aire totale :** $$A_{totale} = 2 \times A_{base} + A_{latérale} = 2 \times 3,86 + 90,0 = 7,72 + 90,0 = 97,72 \text{ cm}^2$$ **Réponse finale :** L'aire totale du prisme est environ $97,72$ cm².