1. **Énoncé du problème :** On considère un triangle rectangle ABC en A avec AB = 8 cm et AC = 6 cm. Un point M est mobile sur le segment [BC]. On construit un rectangle ARMS avec AR = x. La fonction $f$ associe à $x$ l'aire du rectangle ARMS. 2. **Déterminer l'intervalle de $x$ :** Puisque $x = AR$ est un segment sur AB, et AB mesure 8 cm, on a : $$0 \leq x \leq 8$$ 3. **Conjecture du sens de variation de $f$ :** La fonction $f$ représente l'aire du rectangle ARMS. En déplaçant $M$ sur BC, l'aire varie. On peut conjecturer que $f$ est une fonction quadratique avec un maximum. 4. **Démonstration de l'expression de $f(x)$ :** - Le triangle ABC est rectangle en A, donc BC est l'hypoténuse. - La longueur BC est donnée par le théorème de Pythagore : $$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$ - Le point M est sur BC, et ARMS est un rectangle avec AR = $x$ sur AB. - La hauteur du rectangle (segment AS) est proportionnelle à la position de M sur BC. - La pente de BC est : $$m = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$ - La hauteur AS correspond à la distance verticale associée à $x$ sur AB. - Par similarité des triangles, la hauteur AS est : $$AS = AC - \frac{3}{4} x$$ - L'aire du rectangle est donc : $$f(x) = x \times AS = x \times \left(6 - \frac{3}{4} x\right) = 6x - \frac{3}{4} x^2$$ 5. **Conjecture du maximum de $f$ avec une calculatrice :** - La fonction $f(x) = -\frac{3}{4} x^2 + 6x$ est une parabole ouverte vers le bas. - Le maximum est atteint au sommet de la parabole, donné par : $$x_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \times (-\frac{3}{4})} = -\frac{6}{-\frac{3}{2}} = 4$$ - La valeur maximale est : $$f(4) = -\frac{3}{4} \times 4^2 + 6 \times 4 = -\frac{3}{4} \times 16 + 24 = -12 + 24 = 12$$ **Réponse finale :** - $x \in [0,8]$ - $f(x) = -\frac{3}{4} x^2 + 6x$ - Le maximum de $f$ est $12$ atteint en $x=4$.