1. **Énoncé du problème :** On considère un triangle ABC avec H le pied de la hauteur issue de A sur BC. Le point M est un point sur le segment [BC]. On a AH = 4, BC = 7, BH = 4, et on pose BM = x. 2. **Intervalle de variation de x :** Puisque M est sur [BC], et BC = 7, alors $x = BM$ varie entre 0 (M = B) et 7 (M = C). Donc : $$0 \leq x \leq 7$$ 3. **Fonction $f(x)$ : aire du triangle ABM** - a) Calcul de $f(4)$ et $f(2)$ : L'aire d'un triangle est $\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur}$. Ici, la base est $BM = x$ et la hauteur est $AH = 4$ (car AH est la hauteur issue de A perpendiculaire à BC). Donc : $$f(x) = \frac{1}{2} \times x \times 4 = 2x$$ Calculs : $$f(4) = 2 \times 4 = 8$$ $$f(2) = 2 \times 2 = 4$$ - b) Expression de $f(x)$ : $$f(x) = 2x$$ - c) Sens de variation de $f$ : Comme $f(x) = 2x$ est une fonction linéaire croissante, l'aire du triangle ABM augmente lorsque $x$ augmente, c'est-à-dire lorsque M se déplace de B vers C. 4. **Fonction $g(x)$ : aire du triangle AMC** - a) Calcul de $g(4)$ : Le segment MC vaut $MC = BC - BM = 7 - x$. La hauteur issue de A est toujours $AH = 4$. Donc : $$g(x) = \frac{1}{2} \times (7 - x) \times 4 = 2(7 - x) = 14 - 2x$$ Calcul : $$g(4) = 14 - 2 \times 4 = 14 - 8 = 6$$ - b) Expression de $g(x)$ : $$g(x) = 14 - 2x$$ - c) Sens de variation de $g$ : La fonction $g(x)$ est linéaire décroissante car le coefficient de $x$ est négatif. L'aire du triangle AMC diminue lorsque $x$ augmente, c'est-à-dire lorsque M se déplace de B vers C. 5. **Résolution de l'équation $f(x) = g(x)$ :** - Par le calcul : $$2x = 14 - 2x$$ On ajoute $2x$ des deux côtés : $$2x + 2x = 14$$ $$4x = 14$$ On divise par 4 : $$x = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3.5$$ - Par considération géométrique : L'aire totale du triangle ABC est constante et vaut : $$\text{aire ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times 7 \times 4 = 14$$ Les triangles ABM et AMC partagent cette aire totale : $$f(x) + g(x) = 14$$ L'égalité $f(x) = g(x)$ signifie que les deux aires sont égales, donc chacune vaut la moitié de l'aire totale : $$f(x) = g(x) = 7$$ Cela correspond à $x = 3.5$, ce qui est le milieu de BC. **Réponse finale :** - $x$ varie dans $[0,7]$. - $f(x) = 2x$ est croissante. - $g(x) = 14 - 2x$ est décroissante. - $f(x) = g(x)$ pour $x = 3.5$.