1. **Énoncé du problème :** Dans un carré de côté 1, on construit un triangle rectangle isocèle de côté 1 avec le sommet principal en bas à gauche. Puis, dans le carré de côté $\frac{1}{2}$ situé en haut à droite, on construit un triangle rectangle isocèle de côté $\frac{1}{2}$ de même forme, et ainsi de suite à l'infini. 2. **Formule et règles importantes :** L'aire d'un triangle rectangle isocèle de côté $a$ est donnée par $$\text{Aire} = \frac{1}{2} a^2$$ Chaque triangle est construit dans un carré dont le côté est la moitié du précédent, donc les côtés des triangles forment une suite géométrique : $$a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$ 3. **Calcul des aires des triangles successifs :** L'aire du premier triangle est $$A_1 = \frac{1}{2} \times 1^2 = \frac{1}{2}$$ L'aire du deuxième triangle est $$A_2 = \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$$ L'aire du troisième triangle est $$A_3 = \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2}^2\right)^2 = \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{16} = \frac{1}{32}$$ 4. **Expression générale de l'aire du $n$-ième triangle :** $$A_n = \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2}^{n-1}\right)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2^{2(n-1)}} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2^{2n-2}} = \frac{1}{2^{2n-1}}$$ 5. **Calcul de l'aire totale coloriée à l'infini :** L'aire totale est la somme infinie $$S = \sum_{n=1}^{\infty} A_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{2n-1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} \times \frac{1}{4^{n-1}}$$ On peut écrire $$S = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^n$$ Cette somme est une série géométrique de raison $r=\frac{1}{4}$, donc $$\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$$ Donc $$S = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$$ 6. **Conclusion :** L'aire totale coloriée lorsque l'on répète ce protocole à l'infini est $$\boxed{\frac{2}{3}}$$