1. **Énoncé du problème :** Calculer l'aire totale et le volume d'un solide composé d'un cône circulaire droit surmontant une demi-boule. Le cône a une hauteur $h=10$ dm et un rayon de base $r=6$ dm, identique au rayon de la demi-boule. 2. **Formules utilisées :** - Aire totale $A_T = A_{cône} + A_{demi-boule} - A_{base ext{ commune}}$ - Volume total $V = V_{cône} + V_{demi-boule}$ 3. **Calcul de l'aire totale :** - Aire latérale du cône : $$A_{cône} = \pi r l$$ où $l$ est la génératrice du cône. - Calcul de $l$ : $$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 100} = \sqrt{136} \approx 11{,}66$$ - Donc $$A_{cône} = \pi \times 6 \times 11{,}66 \approx 219{,}91\,dm^2$$ - Aire de la demi-boule : $$A_{demi-boule} = 2 \pi r^2 = 2 \pi \times 6^2 = 2 \pi \times 36 = 72 \pi \approx 226{,}19\,dm^2$$ - L'aire de la base commune (cercle) est : $$A_{base} = \pi r^2 = \pi \times 36 = 36 \pi \approx 113{,}10\,dm^2$$ - Aire totale : $$A_T = A_{cône} + A_{demi-boule} - A_{base} = 219{,}91 + 226{,}19 - 113{,}10 = 332{,}99\,dm^2$$ 4. **Calcul du volume total :** - Volume du cône : $$V_{cône} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \times 36 \times 10 = 120 \pi \approx 376{,}99\,dm^3$$ - Volume de la demi-boule : $$V_{demi-boule} = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi \times 6^3 = \frac{2}{3} \pi \times 216 = 144 \pi \approx 452{,}39\,dm^3$$ - Volume total : $$V = V_{cône} + V_{demi-boule} = 376{,}99 + 452{,}39 = 829{,}38\,dm^3$$ 5. **Réponses finales :** - Aire totale $A_T \approx 333\,dm^2$ (choix proche : 389,7 dm²) - Volume total $V \approx 829,38\,dm^3$ Le volume correspond exactement à l'option 829,38 dm³. **Note :** L'aire totale calculée est proche de 333 dm², l'option la plus proche proposée est 389,7 dm².