1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux angles adjacents supplémentaires $x\hat{O}y$ et $y\hat{O}z$ tels que $x\hat{O}y = 40^\circ$. 2. **Calcul de $y\hat{O}z$ :** Les angles adjacents supplémentaires ont une somme de $180^\circ$. $$x\hat{O}y + y\hat{O}z = 180^\circ$$ 3. **Substitution de la valeur connue :** $$40^\circ + y\hat{O}z = 180^\circ$$ 4. **Calcul de $y\hat{O}z$ :** $$y\hat{O}z = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$$ 5. **Construction de la bissectrice $[Om)$ de $y\hat{O}z$ :** La bissectrice divise l'angle en deux angles égaux. $$y\hat{O}m = m\hat{O}z = \frac{y\hat{O}z}{2} = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ$$ 6. **Trace de la demi-droite $[On)$ à l'intérieur de l'angle $x\hat{O}y$, perpendiculaire à $[Om)$ :** La demi-droite $[On)$ est perpendiculaire à $[Om)$, donc l'angle entre $[On)$ et $[Om)$ est $90^\circ$. 7. **Calcul de $n\hat{O}y$ :** L'angle $x\hat{O}y = 40^\circ$ est adjacent à $n\hat{O}y$ et $n\hat{O}m$ (car $[On)$ est à l'intérieur de $x\hat{O}y$). Puisque $[On)$ est perpendiculaire à $[Om)$, et $y\hat{O}m = 70^\circ$, alors : $$n\hat{O}y = x\hat{O}y - n\hat{O}m = 40^\circ - 20^\circ = 20^\circ$$ Mais pour être plus précis, considérons que $n\hat{O}y$ est l'angle entre $[On)$ et $[Oy)$, et $[On)$ est perpendiculaire à $[Om)$ qui est la bissectrice de $y\hat{O}z$. 8. **Montrer que $[On)$ est la bissectrice de $x\hat{O}y$ :** Puisque $[On)$ est perpendiculaire à $[Om)$ et $[Om)$ est la bissectrice de $y\hat{O}z$, alors $[On)$ divise $x\hat{O}y$ en deux angles égaux. Donc, $[On)$ est la bissectrice de $x\hat{O}y$. **Réponses finales :** - $y\hat{O}z = 140^\circ$ - $y\hat{O}m = 70^\circ$ - $n\hat{O}y = 20^\circ$ - $[On)$ est la bissectrice de $x\hat{O}y$