1. **Énoncé du problème :** Montrer que pour le barycentre $G$ du système pondéré $\{(A:3);(B:2);(C:5)\}$ dans le triangle $ABC$, on a $$\overrightarrow{AG} = \frac{1}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{4}{5} \overrightarrow{AC}.$$ 2. **Formule du barycentre :** Le barycentre $G$ de points $A,B,C$ avec poids respectifs $3,2,5$ est défini par $$3\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GB} + 5\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}.$$ 3. **Développement :** On exprime $\overrightarrow{GA}$, $\overrightarrow{GB}$, $\overrightarrow{GC}$ en fonction de $\overrightarrow{AG}$, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ : - $\overrightarrow{GA} = -\overrightarrow{AG}$ - $\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AG} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AG}$ - $\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AG} = -\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AG}$ 4. **Substitution dans la formule :** $$3(-\overrightarrow{AG}) + 2(-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AG}) + 5(-\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AG}) = \overrightarrow{0}.$$ 5. **Simplification :** $$-3\overrightarrow{AG} + 2\overrightarrow{AG} - 2\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AG} - 5\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$$ $$(-3 + 2 + 5)\overrightarrow{AG} - 2\overrightarrow{AB} - 5\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$$ $$4\overrightarrow{AG} = 2\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AC}$$ 6. **Isoler $\overrightarrow{AG}$ :** $$\overrightarrow{AG} = \frac{2}{4} \overrightarrow{AB} + \frac{5}{4} \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{5}{4} \overrightarrow{AC}.$$ 7. **Correction du poids total :** Le total des poids est $3+2+5=10$, or dans l'énoncé on a $\frac{1}{5}$ et $\frac{4}{5}$, donc il faut vérifier la cohérence. En fait, la formule correcte est : $$\overrightarrow{AG} = \frac{2}{10} \overrightarrow{AB} + \frac{5}{10} \overrightarrow{AC} = \frac{1}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}$$ Mais l'énoncé donne $\frac{1}{5}$ et $\frac{4}{5}$, donc il faut revoir la définition de $G$ comme barycentre des points $B$ et $C$ avec poids $2$ et $5$ par rapport à $A$. 8. **Reformulation :** On peut écrire $$\overrightarrow{AG} = \lambda \overrightarrow{AB} + \mu \overrightarrow{AC}$$ avec $\lambda + \mu = 1$ car $G$ est sur le plan du triangle. 9. **Utilisation de la définition du barycentre :** $$3\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GB} + 5\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$$ Or $$\overrightarrow{GA} = -\overrightarrow{AG}, \quad \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AG} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AG}, \quad \overrightarrow{GC} = -\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AG}.$$ Donc $$3(-\overrightarrow{AG}) + 2(-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AG}) + 5(-\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AG}) = \overrightarrow{0}$$ $$-3\overrightarrow{AG} + 2\overrightarrow{AG} - 2\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AG} - 5\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$$ $$4\overrightarrow{AG} = 2\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AC}$$ 10. **Diviser par 4 :** $$\overrightarrow{AG} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{5}{4} \overrightarrow{AC}$$ 11. **Conclusion :** L'énoncé semble contenir une erreur dans la fraction donnée. La bonne expression est $$\overrightarrow{AG} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{5}{4} \overrightarrow{AC}$$ **Réponse finale :** $$\boxed{\overrightarrow{AG} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{5}{4} \overrightarrow{AC}}.$$