1. **Énoncé du problème** : Trouver les coordonnées du centre de gravité (point d'intersection des médianes) du triangle ABC avec A(1 ; 4), B(-1 ; -3) et C(-3 ; 2). 2. **Rappel** : Le centre de gravité d'un triangle est le point d'intersection des médianes. Une médiane relie un sommet au milieu du côté opposé. 3. **Calcul des milieux** : - Milieu M de [CB] : $$M = \left(\frac{-3 + (-1)}{2} ; \frac{2 + (-3)}{2}\right) = \left(\frac{-4}{2} ; \frac{-1}{2}\right) = (-2 ; -\frac{1}{2})$$ - Milieu S de [AB] : $$S = \left(\frac{1 + (-1)}{2} ; \frac{4 + (-3)}{2}\right) = \left(0 ; \frac{1}{2}\right)$$ 4. **Équations des médianes** : - Médiane d reliant A à M : pente $$m_{AM} = \frac{-\frac{1}{2} - 4}{-2 - 1} = \frac{-\frac{9}{2}}{-3} = \frac{-4.5}{-3} = \frac{3}{2}$$ Équation de la droite d passant par A(1 ; 4) : $$y = \frac{3}{2}x + n$$ Calcul de $n$ : $$4 = \frac{3}{2} \times 1 + n \Rightarrow n = 4 - \frac{3}{2} = \frac{8}{2} - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$$ Donc $$d : y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$$ - Médiane d' reliant C à S : pente $$m_{CS} = \frac{\frac{1}{2} - 2}{0 - (-3)} = \frac{-\frac{3}{2}}{3} = -\frac{1}{2}$$ Équation de la droite d' passant par C(-3 ; 2) : $$y = -\frac{1}{2}x + n$$ Calcul de $n$ : $$2 = -\frac{1}{2} \times (-3) + n \Rightarrow 2 = \frac{3}{2} + n \Rightarrow n = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$$ Donc $$d' : y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$$ 5. **Calcul du point d'intersection H des médianes** : Résoudre $$\frac{3}{2}x + \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$$ Regroupons les termes en $x$ : $$\frac{3}{2}x + \frac{1}{2}x = \frac{1}{2} - \frac{5}{2}$$ $$\cancel{\frac{3}{2}x} + \cancel{\frac{1}{2}x} = -2$$ $$2x = -2$$ $$x = -1$$ Calcul de $y$ : $$y = -\frac{1}{2} \times (-1) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$ 6. **Conclusion** : Le centre de gravité du triangle ABC est le point $$H(-1 ; 1)$$ 7. **Vérification** : Ce résultat peut être vérifié avec GeoGebra en traçant les médianes et leur intersection.