1. **Énoncé du problème :** On considère l'ensemble (C) des points $M(x,y)$ tels que $$x^2 + y^2 + 2x - 4y + 4 = 0.$$ Il s'agit de montrer que (C) est un cercle, déterminer son centre et son rayon. 2. **Formule et méthode :** Pour reconnaître un cercle à partir d'une équation, on met l'équation sous la forme canonique $$ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 $$ où $(x_0,y_0)$ est le centre et $r$ le rayon. 3. **Travail intermédiaire :** On complète le carré pour $x$ et $y$ : $$x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$$ $$y^2 - 4y = (y-2)^2 - 4$$ On remplace dans l'équation : $$(x+1)^2 - 1 + (y-2)^2 - 4 + 4 = 0$$ $$ (x+1)^2 + (y-2)^2 - 1 = 0$$ $$ (x+1)^2 + (y-2)^2 = 1$$ 4. **Conclusion :** L'équation est celle d'un cercle de centre $C(-1,2)$ et de rayon $r = \sqrt{1} = 1$. --- 1) **Montrer que (C) est un cercle en déterminant son centre et son rayon :** Le cercle a pour centre $C(-1,2)$ et rayon $r=1$. 2) **Vérifier que le point $A(-1,1)$ appartient à (C) :** Calculons $x^2 + y^2 + 2x - 4y + 4$ en $A$ : $$(-1)^2 + 1^2 + 2(-1) - 4(1) + 4 = 1 + 1 - 2 - 4 + 4 = 0$$ Donc $A$ appartient bien à (C). 3) **Déterminer l'équation de la tangente au cercle (C) en $A$ :** Le vecteur normal à la tangente est le vecteur $\overrightarrow{CA} = (x_A - x_C, y_A - y_C) = (-1 + 1, 1 - 2) = (0, -1)$. L'équation de la tangente en $A$ est donc : $$0 \times (x + 1) - 1 \times (y - 1) = 0 \Rightarrow y - 1 = 0$$ Soit $$y = 1$$ 4) **Étudier la position relative des points $B(3,1)$ et $C(-2, \frac{1}{2})$ par rapport au cercle (C) :** Calculons la distance au centre $C(-1,2)$ : Pour $B$ : $$d_B = \sqrt{(3 + 1)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} > 1$$ Donc $B$ est à l'extérieur du cercle. Pour $C$ : $$d_C = \sqrt{(-2 + 1)^2 + \left(\frac{1}{2} - 2\right)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1.5)^2} = \sqrt{1 + 2.25} = \sqrt{3.25} > 1$$ Donc $C$ est aussi à l'extérieur du cercle. --- **Réponse finale :** Le cercle (C) a pour centre $(-1,2)$ et rayon $1$. Le point $A(-1,1)$ appartient au cercle. L'équation de la tangente en $A$ est $y=1$. Les points $B(3,1)$ et $C(-2, \frac{1}{2})$ sont à l'extérieur du cercle.