1. **Énoncé du problème :** Nous avons l'ensemble (C) défini par l'équation $$x^2 + y^2 + 2x - 4y + 4 = 0$$. Nous devons : - Montrer que (C) est un cercle en déterminant son centre et son rayon. - Vérifier que le point A(-1;1) appartient à (C). - Déterminer l'équation de la tangente au cercle (C) en A. - Étudier la position relative des points B(3;1) et C(-2;\frac{1}{2}) par rapport au cercle (C). 2. **Formule et règles importantes :** L'équation générale d'un cercle est $$ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $$ où $(h,k)$ est le centre et $r$ le rayon. Pour mettre l'équation sous cette forme, on complète les carrés. 3. **Transformation de l'équation :** $$x^2 + 2x + y^2 - 4y + 4 = 0$$ Complétons les carrés pour $x$ et $y$ : - Pour $x^2 + 2x$, ajoutons et soustrayons $(\frac{2}{2})^2 = 1$ : $$x^2 + 2x + 1 - 1$$ - Pour $y^2 - 4y$, ajoutons et soustrayons $(\frac{-4}{2})^2 = 4$ : $$y^2 - 4y + 4 - 4$$ L'équation devient : $$ (x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) + 4 - 1 - 4 = 0 $$ $$ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 - 1 = 0 $$ $$ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 1 $$ 4. **Centre et rayon :** Le centre est $C(-1, 2)$ et le rayon est $r = \sqrt{1} = 1$. 5. **Vérification que A(-1;1) appartient à (C) :** Calculons : $$ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = (-1 + 1)^2 + (1 - 2)^2 = 0^2 + (-1)^2 = 1 $$ Comme $1 = r^2$, le point A appartient bien au cercle. 6. **Équation de la tangente en A :** La tangente en un point $A(x_0,y_0)$ sur le cercle $ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $ est donnée par : $$ (x_0 - h)(x - h) + (y_0 - k)(y - k) = r^2 $$ Ici, $h = -1$, $k = 2$, $r^2 = 1$, $x_0 = -1$, $y_0 = 1$. Calcul : $$ (-1 + 1)(x + 1) + (1 - 2)(y - 2) = 1 $$ $$ 0 \cdot (x + 1) - 1 \cdot (y - 2) = 1 $$ $$ -(y - 2) = 1 $$ $$ y - 2 = -1 $$ $$ y = 1 $$ L'équation de la tangente en A est donc $$ y = 1 $$. 7. **Position relative des points B(3;1) et C(-2;\frac{1}{2}) :** Calculons la distance au centre $C(-1,2)$ : - Pour B(3,1) : $$ d_B = \sqrt{(3 + 1)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \approx 4.123 $$ - Pour C(-2,\frac{1}{2}) : $$ d_C = \sqrt{(-2 + 1)^2 + \left(\frac{1}{2} - 2\right)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1.5)^2} = \sqrt{1 + 2.25} = \sqrt{3.25} \approx 1.803 $$ Le rayon est $r=1$. - $d_B > r$ donc B est à l'extérieur du cercle. - $d_C > r$ donc C est aussi à l'extérieur du cercle. **Réponses finales :** - Centre : $C(-1,2)$ - Rayon : $1$ - A appartient au cercle - Tangente en A : $y=1$ - B et C sont à l'extérieur du cercle.