1. **Énoncé du problème :** On considère le cercle (Ce) défini par l'équation $$x^2 + y^2 - 8x + 2y - 8 = 0$$. 2. **Montrer que (Ce) est un cercle :** L'équation est de la forme générale $$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$. Pour reconnaître un cercle, on complète le carré : $$x^2 - 8x + y^2 + 2y = 8$$ Complétons le carré pour $x$ : $$x^2 - 8x = (x - 4)^2 - 16$$ Pour $y$ : $$y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1$$ Donc : $$ (x - 4)^2 - 16 + (y + 1)^2 - 1 = 8 $$ $$ (x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 8 + 16 + 1 = 25 $$ Ceci est l'équation d'un cercle de centre $\Omega(4, -1)$ et de rayon $r = 5$. 3. **Soit $A(x;4)$ :** **a) Montrer que $A \in (Ce)$ :** On remplace $y$ par 4 dans l'équation du cercle : $$x^2 + 16 - 8x + 8 - 8 = 0 \Rightarrow x^2 - 8x + 16 = 0$$ Cette équation est équivalente à : $$ (x - 4)^2 = 0 $$ Donc $x = 4$. Ainsi, $A(4;4)$ appartient au cercle (Ce). **b) Déterminer les équations des tangentes à (Ce) passant par $A$ :** Le point $A$ est sur le cercle, donc la tangente en $A$ est la droite perpendiculaire au rayon $\Omega A$ au point $A$. Le vecteur $\overrightarrow{\Omega A} = (4 - 4, 4 - (-1)) = (0, 5)$. La tangente a donc pour vecteur directeur $\vec{u} = (5, 0)$. L'équation de la tangente en $A$ est donc : $$ y = 4 $$ 4. **Soit $B(-x;1)$ un point du plan (P) :** **a) Déterminer l'équation cartésienne de la droite $(AB)$ :** Les points sont $A(4;4)$ et $B(-x;1)$. Le vecteur directeur est : $$ \overrightarrow{AB} = (-x - 4, 1 - 4) = (-x - 4, -3) $$ L'équation paramétrique de $(AB)$ est : $$ \begin{cases} X = 4 + t(-x - 4) \\ Y = 4 - 3t \end{cases} $$ L'équation cartésienne s'obtient par : $$ \frac{X - 4}{-x - 4} = \frac{Y - 4}{-3} $$ En multipliant en croix : $$ -3(X - 4) = (-x - 4)(Y - 4) $$ **b) Calculer la distance $d(\Omega, (AB))$ :** Le centre $\Omega(4, -1)$ et la droite $(AB)$ ont pour équation : $$ -3X + (x + 4)Y + C = 0 $$ Pour trouver $C$, on développe l'équation précédente : $$ -3X + (x + 4)Y + 12 - 4x - 16 = 0 $$ $$ -3X + (x + 4)Y - 4x - 4 = 0 $$ La distance du point $\Omega(4, -1)$ à la droite est : $$ d = \frac{| -3 \times 4 + (x + 4)(-1) - 4x - 4 |}{\sqrt{(-3)^2 + (x + 4)^2}} = \frac{| -12 - x - 4 - 4x - 4 |}{\sqrt{9 + (x + 4)^2}} = \frac{| -5x - 20 |}{\sqrt{9 + (x + 4)^2}} $$ 5. **Résolution graphique du système :** $$ \begin{cases} x^2 + y^2 - 8x + 2y - 8 > 0 \\ -3x + 2y - 5 > 0 \end{cases} $$ - La première inégalité correspond à l'extérieur du cercle (Ce). - La deuxième inégalité correspond à la demi-plan au-dessus de la droite $-3x + 2y - 5 = 0$. **Solution graphique :** La région solution est l'intersection de l'extérieur du cercle et du demi-plan défini par la droite. --- **Réponse finale :** - (Ce) est un cercle de centre $\Omega(4, -1)$ et de rayon $5$. - Le point $A(4;4)$ appartient à (Ce). - La tangente en $A$ est la droite $y = 4$. - L'équation cartésienne de $(AB)$ est $$-3(X - 4) = (-x - 4)(Y - 4)$$. - La distance de $\Omega$ à $(AB)$ est $$d = \frac{| -5x - 20 |}{\sqrt{9 + (x + 4)^2}}$$. - La solution graphique du système est l'intersection de l'extérieur du cercle et du demi-plan $$-3x + 2y - 5 > 0$$.