1. Énoncé du problème : Étudions les propriétés d'un cercle et d'un triangle inscrit dans ce cercle. 2. Rappel des formules importantes : - L'équation d'un cercle de centre $O(h,k)$ et de rayon $r$ est $$ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $$. - Un triangle inscrit dans un cercle a ses sommets sur le cercle. - La somme des angles d'un triangle est toujours égale à $180^\circ$. 3. Exemple : Soit un cercle de centre $O(0,0)$ et de rayon $5$. - L'équation du cercle est $$ x^2 + y^2 = 25 $$. - Considérons un triangle inscrit avec les sommets $A(5,0)$, $B(0,5)$, et $C(-5,0)$. 4. Vérification que les points sont sur le cercle : - Pour $A(5,0)$ : $$5^2 + 0^2 = 25$$, donc $A$ est sur le cercle. - Pour $B(0,5)$ : $$0^2 + 5^2 = 25$$, donc $B$ est sur le cercle. - Pour $C(-5,0)$ : $$(-5)^2 + 0^2 = 25$$, donc $C$ est sur le cercle. 5. Calcul des longueurs des côtés du triangle : - $AB = \sqrt{(0-5)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. - $BC = \sqrt{(-5-0)^2 + (0-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = 5\sqrt{2}$. - $AC = \sqrt{(-5-5)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{100} = 10$. 6. Vérification des angles avec la loi des cosinus : - Par exemple, angle en $B$ : $$\cos(\angle B) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \times AB \times BC} = \frac{(5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 - 10^2}{2 \times 5\sqrt{2} \times 5\sqrt{2}} = \frac{50 + 50 - 100}{100} = 0$$ - Donc $\angle B = 90^\circ$. 7. Conclusion : Le triangle inscrit est rectangle en $B$. Ce TD permet de comprendre comment un triangle peut être inscrit dans un cercle et comment utiliser les propriétés du cercle et du triangle pour calculer des longueurs et des angles.