1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux cercles définis par les équations : $$C_1 : x^2 + y^2 - 2x - 7 = 0$$ $$C_2 : x^2 + y^2 - 6x - 1 = 0$$ Nous devons déterminer le centre et le rayon de chaque cercle, puis résoudre graphiquement le système d'inégalités : $$\begin{cases} x^2 + y^2 - 2x - 7 > 0 \\ x^2 + y^2 - 6x - 1 < 0 \end{cases}$$ 2. **Formule utilisée :** L'équation générale d'un cercle est : $$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$ Le centre est donné par : $$C = \left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$$ Le rayon est : $$r = \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 - F}$$ 3. **Calcul pour le cercle $C_1$ :** L'équation est : $$x^2 + y^2 - 2x - 7 = 0$$ Ici, $D = -2$, $E = 0$, $F = -7$. Centre : $$C_1 = \left(-\frac{-2}{2}, -\frac{0}{2}\right) = (1, 0)$$ Rayon : $$r_1 = \sqrt{\left(\frac{-2}{2}\right)^2 + 0^2 - (-7)} = \sqrt{1 + 7} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ 4. **Calcul pour le cercle $C_2$ :** L'équation est : $$x^2 + y^2 - 6x - 1 = 0$$ Ici, $D = -6$, $E = 0$, $F = -1$. Centre : $$C_2 = \left(-\frac{-6}{2}, -\frac{0}{2}\right) = (3, 0)$$ Rayon : $$r_2 = \sqrt{\left(\frac{-6}{2}\right)^2 + 0^2 - (-1)} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$ 5. **Interprétation graphique du système :** - L'inégalité $$x^2 + y^2 - 2x - 7 > 0$$ signifie que le point $(x,y)$ est à l'extérieur du cercle $C_1$. - L'inégalité $$x^2 + y^2 - 6x - 1 < 0$$ signifie que le point $(x,y)$ est à l'intérieur du cercle $C_2$. 6. **Solution graphique :** La solution est l'ensemble des points situés à l'extérieur du cercle $C_1$ et à l'intérieur du cercle $C_2$. **Résumé final :** - $C_1$ a pour centre $(1,0)$ et rayon $2\sqrt{2}$. - $C_2$ a pour centre $(3,0)$ et rayon $\sqrt{10}$. - La solution du système est l'intersection de l'extérieur de $C_1$ avec l'intérieur de $C_2$.