1. **Énoncé du problème** : Deux points $A$ et $B$ sont distants de 4 m, la droite $d$ forme un angle $\alpha$ avec $AB$. Un rayon lumineux part de $A$, est réfléchi en $C$ sur $d$ avec angles d'incidence et de réflexion égaux, puis arrive en $B$ après un trajet total de 12 m. La projection orthogonale $C'$ de $C$ sur $AB$ vérifie $|AC'|=1$ m. 2. **Objectifs** : - a) Montrer que $C$ appartient à une conique, déterminer sa nature et une équation. - b) Trouver la position relative de $d$ par rapport à cette conique. - c) Déterminer une équation de $d$. - d) Déterminer l'amplitude de $\alpha$. --- ### a) Nature et équation de la conique 3. Soit $A=(0,0)$ et $B=(4,0)$ sur l'axe horizontal $x$. 4. La projection $C'$ de $C$ sur $AB$ est telle que $|AC'|=1$, donc $C'=(1,0)$. 5. Le point $C$ est donc de la forme $C=(1,y)$ avec $y>0$ (au-dessus de $AB$). 6. Le trajet total $A \to C \to B$ est de 12 m, donc $$|AC| + |CB| = 12.$$ 7. Calculons ces distances : $$|AC| = \sqrt{(1-0)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{1 + y^2},$$ $$|CB| = \sqrt{(4-1)^2 + (0 - y)^2} = \sqrt{9 + y^2}.$$ 8. L'équation du trajet total est donc : $$\sqrt{1 + y^2} + \sqrt{9 + y^2} = 12.$$ 9. Cette équation définit l'ensemble des points $C$ tels que la somme des distances à $A$ et $B$ est constante. 10. Par définition, cet ensemble est une ellipse de foyers $A$ et $B$ et de grand axe $12$. --- ### b) Position relative de $d$ par rapport à la conique 11. La droite $d$ est la tangente en $C$ à l'ellipse, car la réflexion implique que $d$ forme des angles égaux avec les segments $AC$ et $CB$. 12. La propriété optique de l'ellipse est que la tangente en $C$ fait des angles égaux avec les segments vers les foyers. 13. Donc $d$ est la tangente à l'ellipse en $C$. --- ### c) Équation de $d$ 14. L'équation de l'ellipse est : $$\sqrt{1 + y^2} + \sqrt{9 + y^2} = 12.$$ 15. Pour trouver la tangente en $C=(1,y)$, on dérive implicitement ou on utilise la propriété géométrique. 16. Soit $F_1=A=(0,0)$ et $F_2=B=(4,0)$. 17. Le vecteur normal à la tangente en $C$ est la somme des vecteurs unitaires $\vec{u_1} = \frac{C - F_1}{|C - F_1|}$ et $\vec{u_2} = \frac{C - F_2}{|C - F_2|}$. 18. Calculons : $$\vec{u_1} = \left(\frac{1}{\sqrt{1 + y^2}}, \frac{y}{\sqrt{1 + y^2}}\right),$$ $$\vec{u_2} = \left(\frac{1 - 4}{\sqrt{9 + y^2}}, \frac{y}{\sqrt{9 + y^2}}\right) = \left(-\frac{3}{\sqrt{9 + y^2}}, \frac{y}{\sqrt{9 + y^2}}\right).$$ 19. Le vecteur normal $\vec{n} = \vec{u_1} + \vec{u_2} = \left(\frac{1}{\sqrt{1 + y^2}} - \frac{3}{\sqrt{9 + y^2}}, \frac{y}{\sqrt{1 + y^2}} + \frac{y}{\sqrt{9 + y^2}}\right).$ 20. L'équation de la tangente $d$ en $C$ est : $$\vec{n} \cdot \bigl((x,y) - (1,y)\bigr) = 0,$$ soit $$n_x (x - 1) + n_y (y - y) = 0,$$ 21. Comme $y - y = 0$, l'équation se simplifie à $$n_x (x - 1) = 0,$$ 22. Or $n_x \neq 0$ (car $y>0$), donc $$x = 1.$$ 23. Donc la droite $d$ est verticale passant par $x=1$. --- ### d) Détermination de l'angle $\alpha$ 24. La droite $d$ forme un angle $\alpha$ avec $AB$ (l'axe horizontal). 25. Ici, $d$ est la droite verticale $x=1$, donc $$\alpha = 90^\circ.$$ --- **Réponses finales :** - a) $C$ appartient à une ellipse de foyers $A(0,0)$ et $B(4,0)$ et de grand axe 12, définie par $$\sqrt{(x-0)^2 + y^2} + \sqrt{(x-4)^2 + y^2} = 12.$$ - b) $d$ est la tangente à l'ellipse en $C$. - c) $d$ est la droite verticale $x=1$. - d) L'angle $\alpha$ est $90^\circ$.