1. Énoncé : On considère les points $A(1,-2,-1)$ et $B(3,-3,-2)$ et l'on demande une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ puis un système d\'équations cartésiennes de $(AB)$. 2. Rappels et formule : Pour une droite passant par $P(x_0,y_0,z_0)$ de vecteur directeur $\\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$, une représentation paramétrique s\'écrit $$ (x,y,z) = (x_0,y_0,z_0) + t(u_1,u_2,u_3),\ t \\in \\mathbb{R} $$. 3. Règles importantes : Le vecteur directeur doit être non nul et deux représentations paramétriques donnent la même droite si elles ont le même point de passage et des vecteurs directeurs colinéaires. 4. Calcul du vecteur directeur de (AB) : On calcule $\\overrightarrow{AB}=B-A=(3-1,\,-3-(-2),\,-2-(-1))=(2,-1,-1)$. 5. Représentation paramétrique : En prenant le paramètre $t$ pour $\\overrightarrow{AB}$ on obtient la forme vectorielle suivante : $$ (x,y,z) = (1,-2,-1) + t(2,-1,-1),\ t \\in \\mathbb{R} $$. 6. Écriture par coordonnées : On peut aussi écrire les équations paramétriques coordonnées qui viennent directement de la forme précédente : $x=1+2t$. 7. Deuxième équation coordonnée : $y=-2-t$. 8. Troisième équation coordonnée : $z=-1-t$. 9. Passage aux équations cartésiennes (forme symétrique) : En éliminant $t$ on obtient la forme symétrique suivante : $$\\frac{x-1}{2}=\\frac{y+2}{-1}=\\frac{z+1}{-1}$$. 10. Passage à un système de deux équations linéaires indépendantes : Comme $t=\\frac{x-1}{2}$ et $t=-(y+2)$ on obtient en égalant $\\frac{x-1}{2}=-(y+2)$ la première équation linéaire $x+2y+3=0$. 11. Deuxième équation linéaire : De $t=\\frac{x-1}{2}=-(z+1)$ on obtient $x+2z+1=0$. 12. Vérification rapide : Les points $A(1,-2,-1)$ et $B(3,-3,-2)$ satisfont chacune des deux équations $x+2y+3=0$ et $x+2z+1=0$, ce qui confirme la cohérence. 13. Réponse finale : Représentation paramétrique de $(AB)$ : $$ (x,y,z) = (1,-2,-1) + t(2,-1,-1),\ t \\in \\mathbb{R} $$. 14. Système d\'équations cartésiennes de $(AB)$ : $$\begin{cases} x+2y+3=0 \\ x+2z+1=0 \end{cases}$$.