1. **Énoncé du problème :** On donne les points $C(4;4)$, $A(2;1)$ et $P(5;2)$. Il faut : a) Écrire l'équation de la droite $(AP)$. b) Calculer la hauteur du triangle $CAP$ issue de $C$. c) Calculer le périmètre et l'aire du triangle $CAP$. 2. **a) Équation de la droite $(AP)$ :** La droite passant par deux points $A(x_A,y_A)$ et $P(x_P,y_P)$ a pour coefficient directeur : $$m = \frac{y_P - y_A}{x_P - x_A} = \frac{2 - 1}{5 - 2} = \frac{1}{3}$$ L'équation de la droite s'écrit donc : $$y - y_A = m(x - x_A)$$ $$y - 1 = \frac{1}{3}(x - 2)$$ On développe : $$y - 1 = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$$ $$y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$$ 3. **b) Calcul de la hauteur issue de $C$ :** La hauteur issue de $C$ est la distance entre $C$ et la droite $(AP)$. L'équation de $(AP)$ est $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$, que l'on peut écrire sous la forme : $$\frac{1}{3}x - y + \frac{1}{3} = 0$$ La distance d'un point $M(x_0,y_0)$ à une droite $ax + by + c = 0$ est : $$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$ Ici, $a=\frac{1}{3}$, $b=-1$, $c=\frac{1}{3}$, et $C(4,4)$ : $$d = \frac{\left| \frac{1}{3} \times 4 - 1 \times 4 + \frac{1}{3} \right|}{\sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + (-1)^2}} = \frac{\left| \frac{4}{3} - 4 + \frac{1}{3} \right|}{\sqrt{\frac{1}{9} + 1}} = \frac{\left| \frac{5}{3} - 4 \right|}{\sqrt{\frac{10}{9}}} = \frac{\left| \frac{5}{3} - \frac{12}{3} \right|}{\frac{\sqrt{10}}{3}} = \frac{\left| -\frac{7}{3} \right|}{\frac{\sqrt{10}}{3}} = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{\sqrt{10}}{3}} = \frac{7}{\sqrt{10}}$$ On rationalise : $$d = \frac{7}{\sqrt{10}} \times \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{7\sqrt{10}}{10}$$ 4. **c) Calcul du périmètre et de l'aire du triangle $CAP$ :** Calcul des longueurs des côtés : - $CA = \sqrt{(4-2)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$ - $AP = \sqrt{(5-2)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$ - $CP = \sqrt{(5-4)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ Périmètre : $$P = CA + AP + CP = \sqrt{13} + \sqrt{10} + \sqrt{5}$$ Aire : L'aire d'un triangle est : $$\text{Aire} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur}$$ On prend $AP$ comme base et la hauteur calculée précédemment : $$\text{Aire} = \frac{1}{2} \times \sqrt{10} \times \frac{7\sqrt{10}}{10} = \frac{1}{2} \times \sqrt{10} \times \frac{7\sqrt{10}}{10} = \frac{1}{2} \times \frac{7 \times 10}{10} = \frac{7}{2} = 3.5$$ **Réponses finales :** a) $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$ b) Hauteur issue de $C$ : $\frac{7\sqrt{10}}{10}$ c) Périmètre : $\sqrt{13} + \sqrt{10} + \sqrt{5}$, Aire : $3.5$