1. **Énoncé du problème :** On considère la droite (D) définie par les équations paramétriques $$x = -2t$$ et $$y = 1 - 4t$$, avec $$t \in \mathbb{R}$$. Le point $$C(4, -1)$$ est donné. On cherche : - Un vecteur directeur de (D). - Vérifier si $$C$$ appartient à (D). - Déterminer une équation cartésienne de la droite (\Delta) passant par $$C$$ et parallèle à (D). - Étudier la position relative de (\Delta) et de la droite (D') définie par $$2x - y + 3 = 0$$. 2. **Vecteur directeur de (D) :** Les équations paramétriques sont $$x = -2t$$ et $$y = 1 - 4t$$. Le vecteur directeur $$\vec{d}$$ est donné par les coefficients de $$t$$ dans ces équations : $$\vec{d} = (-2, -4)$$. 3. **Vérification de l'appartenance de $$C(4, -1)$$ à (D) :** Pour que $$C$$ appartienne à (D), il doit exister un $$t$$ tel que : $$\begin{cases} 4 = -2t \\ -1 = 1 - 4t \end{cases}$$ Résolvons la première équation : $$4 = -2t \Rightarrow t = \frac{\cancel{4}}{\cancel{-2}} = -2$$ Substituons dans la deuxième : $$-1 \stackrel{?}{=} 1 - 4(-2) = 1 + 8 = 9$$ Ce n'est pas vrai, donc $$C$$ n'appartient pas à (D). 4. **Équation cartésienne de (\Delta) passant par $$C$$ et parallèle à (D) :** Une droite parallèle à (D) a le même vecteur directeur $$\vec{d} = (-2, -4)$$. L'équation cartésienne d'une droite passant par $$C(x_0, y_0)$$ et de vecteur directeur $$\vec{d} = (a, b)$$ est : $$a(y - y_0) - b(x - x_0) = 0$$ Ici, $$a = -2$$, $$b = -4$$, $$x_0 = 4$$, $$y_0 = -1$$. Donc : $$-2(y + 1) - (-4)(x - 4) = 0$$ $$-2y - 2 + 4x - 16 = 0$$ $$4x - 2y - 18 = 0$$ On peut simplifier en divisant par 2 : $$\frac{\cancel{4}x}{\cancel{2}} - \frac{\cancel{2}y}{\cancel{2}} - \frac{18}{2} = 0 \Rightarrow 2x - y - 9 = 0$$ 5. **Étude de la position relative de (\Delta) et (D') :** L'équation de (D') est : $$2x - y + 3 = 0$$ Les droites (\Delta) et (D') ont les équations : $$2x - y - 9 = 0$$ $$2x - y + 3 = 0$$ Elles ont les mêmes coefficients pour $$x$$ et $$y$$, donc elles sont parallèles. Comme les termes constants sont différents (-9 et +3), elles sont distinctes. **Réponse finale :** - Vecteur directeur de (D) : $$\vec{d} = (-2, -4)$$ - Le point $$C(4, -1)$$ n'appartient pas à (D). - Équation cartésienne de (\Delta) : $$2x - y - 9 = 0$$ - (\Delta) et (D') sont deux droites parallèles distinctes.