1. **Énoncé du problème** : Nous avons plusieurs questions sur des points et des droites dans un plan avec des coordonnées données. 2. **Calcul du déterminant det(AB, AC)** : - Vecteur AB = B - A = (0 - 1, 2 - 1) = (-1, 1) - Vecteur AC = C - A = (-1 - 1, 2 - 1) = (-2, 1) - Le déterminant est $\det(AB, AC) = (-1) \times 1 - 1 \times (-2) = -1 + 2 = 1$ - Comme le déterminant est différent de zéro, les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires, donc les points A, B, C ne sont pas alignés. 3. **Équation de la droite (AB)** : - La pente $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{2 - 1}{0 - 1} = \frac{1}{-1} = -1$ - L'équation de la droite passant par A(1,1) est $y - 1 = -1(x - 1)$ - Donc $y = -x + 2$ 4. **Vérification que C appartient à (D)** : - Droite (D) paramétrée par $x = 2 - 3t$, $y = 1 + t$ - Trouvons $t$ tel que $x = -1$ : $-1 = 2 - 3t \Rightarrow 3t = 3 \Rightarrow t = 1$ - Vérifions $y$ : $y = 1 + 1 = 2$, ce qui correspond à $y_C$ - Donc C appartient à (D). 5. **Équation de la droite (D) passant par C et parallèle à (AB)** : - La pente de (AB) est $-1$, donc (D) a aussi la pente $-1$ - Équation de (D) : $y - 2 = -1(x + 1)$ - Donc $y = -x + 1$ 6. **Position relative de (D) et de la droite (A) : $x + 3y + 2 = 0$** - Trouvons le point d'intersection G en résolvant le système : $\begin{cases} y = -x + 1 \\ x + 3y + 2 = 0 \end{cases}$ - Remplaçons $y$ : $x + 3(-x + 1) + 2 = 0 \Rightarrow x - 3x + 3 + 2 = 0 \Rightarrow -2x + 5 = 0$ - Donc $x = \frac{5}{2} = 2.5$ - $y = -2.5 + 1 = -1.5$ - Le point d'intersection est $G(2.5, -1.5)$ 7. **Droites $(D_m)$ passant par un point fixe E** : - Équation de $(D_m)$ : $(2m - 1)x + (1 - m)y - 2m - 3 = 0$ - Pour que toutes ces droites passent par un même point $E(x_0, y_0)$, ce point doit satisfaire l'équation pour tout $m$ : $(2m - 1)x_0 + (1 - m)y_0 - 2m - 3 = 0$ - Regroupons par $m$ : $m(2x_0 - y_0 - 2) + (-x_0 + y_0 - 3) = 0$ - Pour que cela soit vrai pour tout $m$, les coefficients doivent être nuls : $\begin{cases} 2x_0 - y_0 - 2 = 0 \\ -x_0 + y_0 - 3 = 0 \end{cases}$ - Résolvons : De la deuxième : $y_0 = x_0 + 3$ Substituons dans la première : $2x_0 - (x_0 + 3) - 2 = 0 \Rightarrow 2x_0 - x_0 - 3 - 2 = 0 \Rightarrow x_0 - 5 = 0 \Rightarrow x_0 = 5$ Donc $y_0 = 5 + 3 = 8$ - Le point fixe est $E(5, 8)$