1. Énoncé du problème : Montrer que les points A(-3,-2), C(1,1) et D(5,4) ne sont pas alignés. 2. Formule et règle importante : Trois points sont alignés si le vecteur AC est colinéaire au vecteur AD. Le vecteur AC = (x_C - x_A, y_C - y_A) et le vecteur AD = (x_D - x_A, y_D - y_A). 3. Calcul des vecteurs : $$\vec{AC} = (1 - (-3), 1 - (-2)) = (4, 3)$$ $$\vec{AD} = (5 - (-3), 4 - (-2)) = (8, 6)$$ 4. Vérification de la colinéarité : Deux vecteurs sont colinéaires si $$\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$$. Ici, $$\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$ et $$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$. Les rapports sont égaux, donc $$\vec{AC}$$ et $$\vec{AD}$$ sont colinéaires. 5. Conclusion : Les points A, C et D sont alignés car $$\vec{AC}$$ et $$\vec{AD}$$ sont colinéaires. --- 1. Énoncé : Déterminer une équation cartésienne de la droite (AC). 2. Formule : L'équation cartésienne d'une droite passant par A(x_A,y_A) avec un vecteur directeur $$\vec{u} = (u_x,u_y)$$ est : $$u_y(x - x_A) - u_x(y - y_A) = 0$$ 3. Calcul : Vecteur directeur $$\vec{AC} = (4,3)$$. L'équation est donc : $$3(x + 3) - 4(y + 2) = 0$$ 4. Développement : $$3x + 9 - 4y - 8 = 0$$ $$3x - 4y + 1 = 0$$ 5. Conclusion : L'équation cartésienne de la droite (AC) est $$3x - 4y + 1 = 0$$. --- 1. Énoncé : Montrer que les droites (D) : $$3x - y - 1 = 0$$ et (∆) : $$\begin{cases} x = -3 + 4t \\ y = 1 + t \end{cases}$$ sont sécantes et déterminer leur point d'intersection. 2. Substitution : Remplaçons $$x$$ et $$y$$ de (∆) dans (D) : $$3(-3 + 4t) - (1 + t) - 1 = 0$$ 3. Calcul : $$-9 + 12t - 1 - t - 1 = 0$$ $$11t - 11 = 0$$ $$t = 1$$ 4. Coordonnées du point d'intersection : $$x = -3 + 4(1) = 1$$ $$y = 1 + 1 = 2$$ 5. Conclusion : Les droites sont sécantes en $$P(1,2)$$. --- 1. Énoncé : Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D') passant par A(-3,-2) et parallèle à (D). 2. Rappel : La droite (D) a pour vecteur normal $$\vec{n} = (3,-1)$$. Un vecteur directeur de (D) est $$\vec{u} = (1,3)$$ car $$\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$$. 3. Paramétrisation de (D') : Passant par A et de vecteur directeur $$\vec{u} = (1,3)$$ : $$\begin{cases} x = -3 + t \\ y = -2 + 3t \end{cases}$$ --- 1. Énoncé : Déterminer une équation cartésienne de la droite (∆') passant par C(1,1) et parallèle à (∆). 2. Rappel : Le vecteur directeur de (∆) est $$\vec{v} = (4,1)$$. 3. Équation cartésienne de (∆') : $$1(x - 1) - 4(y - 1) = 0$$ 4. Développement : $$x - 1 - 4y + 4 = 0$$ $$x - 4y + 3 = 0$$ 5. Conclusion : L'équation cartésienne de (∆') est $$x - 4y + 3 = 0$$.