1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux droites perpendiculaires $(d_1)$ et $(d_2)$ qui se coupent en $O$. Un point $A$ n'appartenant ni à $(d_1)$ ni à $(d_2)$. La perpendiculaire à $(d_1)$ passant par $A$ coupe $(d_1)$ en $M$. 2. **Question 1 : Comment sont les droites $(AM)$ et $(d_2)$ ? Justifie.** - $(AM)$ est perpendiculaire à $(d_1)$ car elle est construite comme telle. - $(d_1)$ est perpendiculaire à $(d_2)$ par hypothèse. - Or, si une droite est perpendiculaire à $(d_1)$, elle est parallèle à $(d_2)$ (car $(d_2)$ est la perpendiculaire de $(d_1)$). - Donc, **$(AM)$ est parallèle à $(d_2)$**. 3. **Question 2a : La parallèle à $(d_1)$ passant par $A$ coupe $(d_2)$ en $P$. Comment sont les droites $(AP)$ et $(d_2)$ ? Justifie.** - $(AP)$ est parallèle à $(d_1)$ par construction. - $(d_1)$ est perpendiculaire à $(d_2)$. - Donc, $(AP)$ est aussi perpendiculaire à $(d_2)$. - Ainsi, **$(AP)$ est perpendiculaire à $(d_2)$**. 4. **Question 2b : Sous quel nom connais-tu le quadrilatère $POMA$ ?** - $POMA$ a deux côtés opposés parallèles : $(PO)$ et $(MA)$ sont sur $(d_1)$, donc parallèles. - $(PM)$ et $(OA)$ sont sur $(d_2)$ ou parallèles à $(d_2)$. - De plus, les angles droits aux intersections montrent que $POMA$ est un rectangle. - Donc, **$POMA$ est un rectangle**. 5. **Question 3 : $I$ est un point de $(AM)$. La parallèle à $(OM)$ passant par $I$ coupe $(d_2)$ en $J$. Comment sont les droites $(AP)$ et $(IJ)$ ? Justifie.** - $(OM)$ est sur $(d_1)$, donc $(IJ)$ est parallèle à $(OM)$, donc parallèle à $(d_1)$. - $(AP)$ est aussi parallèle à $(d_1)$ (question 2a). - Deux droites parallèles sont parallèles entre elles. - Donc, **$(AP)$ est parallèle à $(IJ)$**. **Résumé final :** - $(AM)$ est parallèle à $(d_2)$. - $(AP)$ est perpendiculaire à $(d_2)$. - $POMA$ est un rectangle. - $(AP)$ est parallèle à $(IJ)$.