1. **Énoncé du problème :** Roméo a une échelle de 10 m et veut atteindre un rebord de fenêtre à 4,8 m de hauteur. 2. **Données :** - Mur entre Roméo et la maison : épaisseur 0,5 m, hauteur 4 m - Allée entre mur et maison : largeur 1 m - Hauteur du rebord de la fenêtre : 4,8 m - Longueur de l'échelle : 10 m 3. **Objectif :** Vérifier si l'échelle peut être posée de façon à atteindre le rebord de la fenêtre en tenant compte du mur et de l'allée. 4. **Analyse géométrique :** - La distance horizontale totale entre Roméo (au sol) et la maison est la somme de l'épaisseur du mur et de la largeur de l'allée : $$d = 0{,}5 + 1 = 1{,}5\,m$$ - L'échelle doit reposer au sol devant le mur, donc la base de l'échelle est à 0 m de hauteur et à 0 m horizontalement. - L'échelle doit atteindre un point situé à 4,8 m de hauteur et à 1,5 m horizontalement. 5. **Calcul de la longueur minimale nécessaire de l'échelle :** - Utilisons le théorème de Pythagore pour la distance entre la base de l'échelle et le rebord : $$L = \sqrt{d^2 + h^2} = \sqrt{1{,}5^2 + 4{,}8^2} = \sqrt{2{,}25 + 23{,}04} = \sqrt{25{,}29} \approx 5{,}03\,m$$ 6. **Vérification de la contrainte du mur :** - Le mur fait 4 m de haut et 0,5 m d'épaisseur. - L'échelle doit passer au-dessus du mur, donc à 0,5 m horizontalement, l'échelle doit être à une hauteur supérieure à 4 m. - Calculons la hauteur de l'échelle à 0,5 m horizontalement si elle est posée pour atteindre le rebord : - La pente de l'échelle est : $$p = \frac{4{,}8}{1{,}5} = 3{,}2$$ - Hauteur à 0,5 m : $$h_{mur} = p \times 0{,}5 = 3{,}2 \times 0{,}5 = 1{,}6\,m$$ - Cette hauteur est inférieure à la hauteur du mur (4 m), donc l'échelle toucherait le mur avant d'atteindre la maison. 7. **Conclusion :** - L'échelle ne peut pas être posée directement à 1,5 m du mur car elle heurterait le mur. - Pour passer au-dessus du mur, il faudrait que l'échelle soit posée plus loin, mais la longueur de l'échelle est limitée à 10 m. - Calculons la distance horizontale minimale $x$ pour que l'échelle passe au-dessus du mur : $$\text{Hauteur à } 0{,}5 = \frac{4}{0{,}5} x = 8x$$ $$\text{Mais } h = \frac{4{,}8}{x} x = 4{,}8$$ - En fait, il faut vérifier si l'échelle de 10 m peut atteindre 4,8 m de haut en passant à plus de 0,5 m horizontalement. - La longueur de l'échelle est : $$L = \sqrt{x^2 + 4{,}8^2} \leq 10$$ - Résolvons pour $x$ : $$x^2 \leq 10^2 - 4{,}8^2 = 100 - 23{,}04 = 76{,}96$$ $$x \leq \sqrt{76{,}96} \approx 8{,}77\,m$$ - Pour que l'échelle passe au-dessus du mur, la hauteur à 0,5 m doit être au moins 4 m : $$h_{mur} = \frac{4{,}8}{x} \times 0{,}5 \geq 4$$ $$\Rightarrow \frac{4{,}8}{x} \geq 8$$ $$\Rightarrow x \leq \frac{4{,}8}{8} = 0{,}6\,m$$ - Or $x$ doit être supérieur à 1,5 m (épaisseur mur + allée) pour atteindre la maison. - Donc, il est impossible que l'échelle passe au-dessus du mur et atteigne le rebord. **Réponse finale :** Roméo ne pourra pas poser l'échelle de 10 m pour atteindre le rebord de la fenêtre en passant au-dessus du mur.