1. **Énoncé du problème :** Déterminer l'équation du cercle $(C)$ de diamètre $[AB]$ avec les points $A(1, -2)$ et $B(1, -2)$ en utilisant deux méthodes. 2. **Rappel de la formule :** L'équation d'un cercle de centre $\left(h, k\right)$ et de rayon $r$ est : $$ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $$ Le centre du cercle de diamètre $[AB]$ est le milieu de $AB$ : $$ M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) $$ Le rayon est la moitié de la distance entre $A$ et $B$ : $$ r = \frac{1}{2} \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} $$ 3. **Calcul du centre $M$ :** $$ M = \left( \frac{1 + 1}{2}, \frac{-2 + (-2)}{2} \right) = (1, -2) $$ 4. **Calcul du rayon $r$ :** $$ r = \frac{1}{2} \sqrt{(1 - 1)^2 + (-2 - (-2))^2} = \frac{1}{2} \sqrt{0 + 0} = 0 $$ 5. **Interprétation :** Les points $A$ et $B$ sont identiques, donc le diamètre est nul, ce qui signifie que le cercle est en fait un point unique en $M(1, -2)$ avec un rayon $0$. 6. **Équation du cercle :** $$ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 0 $$ **Conclusion :** Le cercle de diamètre $[AB]$ est un point unique en $(1, -2)$.