1. Le problème : Donner les formules principales de la géométrie dans l'espace. 2. Formules des vecteurs : - Distance entre deux points $A(x_1,y_1,z_1)$ et $B(x_2,y_2,z_2)$ : $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$ - Vecteur $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ 3. Produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u} = (u_1,u_2,u_3)$ et $\vec{v} = (v_1,v_2,v_3)$ : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$$ - Il permet de calculer l'angle $\theta$ entre deux vecteurs : $$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|}$$ 4. Produit vectoriel de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : $$\vec{u} \times \vec{v} = (u_2v_3 - u_3v_2, u_3v_1 - u_1v_3, u_1v_2 - u_2v_1)$$ - Ce vecteur est perpendiculaire aux deux vecteurs initiaux. 5. Équation cartésienne d'un plan : - Si un plan passe par un point $P_0(x_0,y_0,z_0)$ avec un vecteur normal $\vec{n} = (a,b,c)$, alors : $$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$$ 6. Équation paramétrique d'une droite : - Si la droite passe par $P_0(x_0,y_0,z_0)$ et a pour vecteur directeur $\vec{d} = (d_1,d_2,d_3)$ : $$\begin{cases} x = x_0 + td_1 \\ y = y_0 + td_2 \\ z = z_0 + td_3 \end{cases}$$ 7. Distance d'un point $M(x,y,z)$ à un plan $ax + by + cz + d = 0$ : $$D = \frac{|ax + by + cz + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$ 8. Volume d'un parallélépipède défini par trois vecteurs $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ : $$V = |(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}|$$ Ces formules sont essentielles pour comprendre et résoudre des problèmes de géométrie dans l'espace.