1. **Énoncé du problème :** Nous avons un immeuble de base 14 m et un mât au sommet. L'ombre forme un triangle rectangle avec l'hypoténuse de 120,44 m. La hauteur relative forme un deuxième triangle avec une base de 79,75 m. Nous devons trouver la hauteur de l'immeuble. 2. **Données et schéma :** - Base de l'immeuble $= 14$ m - Hypoténuse du grand triangle $= 120{,}44$ m - Base du petit triangle $= 79{,}75$ m 3. **Formule utilisée :** Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore s'applique : $$\text{hypoténuse}^2 = \text{base}^2 + \text{hauteur}^2$$ 4. **Calcul de la hauteur totale (immeuble + mât) :** $$h_{total} = \sqrt{120{,}44^2 - (14 + 79{,}75)^2}$$ Calculons la somme des bases : $$14 + 79{,}75 = 93{,}75$$ Calculons les carrés : $$120{,}44^2 = 14505{,}7936$$ $$93{,}75^2 = 8789{,}0625$$ Soustraction : $$14505{,}7936 - 8789{,}0625 = 5716{,}7311$$ Racine carrée : $$h_{total} = \sqrt{5716{,}7311} \approx 75{,}6$$ 5. **Calcul de la hauteur du mât :** Le petit triangle a pour base 79,75 m et sa hauteur est la hauteur du mât $h_{mât}$. On applique Pythagore au petit triangle : $$h_{mât} = \sqrt{120{,}44^2 - 79{,}75^2}$$ Calcul des carrés : $$120{,}44^2 = 14505{,}7936$$ $$79{,}75^2 = 6360{,}0625$$ Soustraction : $$14505{,}7936 - 6360{,}0625 = 8145{,}7311$$ Racine carrée : $$h_{mât} = \sqrt{8145{,}7311} \approx 90{,}3$$ 6. **Calcul de la hauteur de l'immeuble :** $$h_{immeuble} = h_{total} - h_{mât} = 75{,}6 - 90{,}3 = -14{,}7$$ Cette valeur négative indique une erreur dans l'interprétation. En fait, la hauteur relative dessinant le deuxième triangle est la hauteur du mât, donc la hauteur totale est la somme de la hauteur de l'immeuble et du mât. 7. **Reformulation correcte :** Le grand triangle a pour base $14 + 79{,}75 = 93{,}75$ m et hypoténuse 120,44 m. La hauteur totale est : $$h_{total} = \sqrt{120{,}44^2 - 93{,}75^2} = 75{,}6$$ Le petit triangle a pour base 79,75 m et hypoténuse 120,44 m, donc la hauteur du mât est : $$h_{mât} = \sqrt{120{,}44^2 - 79{,}75^2} = 90{,}3$$ La hauteur de l'immeuble est donc : $$h_{immeuble} = h_{total} - h_{mât} = 75{,}6 - 90{,}3 = -14{,}7$$ Ce résultat est impossible, donc la hauteur relative dessinant le deuxième triangle est la hauteur de l'immeuble, pas du mât. 8. **Calcul de la hauteur de l'immeuble (correct) :** Le petit triangle a pour base 79,75 m et hauteur $h_{immeuble}$, avec hypoténuse 120,44 m. $$h_{immeuble} = \sqrt{120{,}44^2 - 79{,}75^2} = 90{,}3$$ **Réponse finale :** La hauteur de l'immeuble est environ **90,3 m**.